选修空间向量的基本定理作业.docVIP

课时作业(十八) 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．平面内的任意两个向量都共线 B．空间中的任意三个向量都不共面 C．空间中的任意三个向量都共面 D．空间中的任意两个向量都共面 解析：A平面内可以有两个向量不共线，如基向量，B、C空间中的任意三个向量可能共面也可能不共面，故选D. 答案：D 2．已知{a，b，c}是空间一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p、q构成空间另一基底的是(　　) A．a B．b C．c D．无法确定 解析：因a、b与p、q均共面，故只能选C. 答案：C 3．设空间四点O、A、B、P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P不一定在直线AB上 D．以上都不对 解析：m＋n＝1， ＝m＋(1－m)＝m(－)＋ ＝＋m， 即－＝m，＝m， 又、有公共点B， 点P一定在直线AB上．故选A. 答案：A 4．已知向量，，不共面，则满足A，B，C，P四点共面的条件是(　　) A.＝2x＋3y＋4z，且2x＋3y＋4z＝1 B.＋＋＋＝0 C.＝＋3 D.＝2－ 解析：根据共面向量基本定理可知C正确． 答案：C 5．如图，ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，则下列错误的一个命题是(　　) A．存在唯一的实数对x，y，使得＝x＋y B．存在唯一的实数对x，y，使得＝x＋y C．存在唯一的有序实数组x，y，z，使得＝x－y＋z D．存在唯一的有序实数组x，y，z，使得＝x＋y＋z 解析：若选项A中命题为真，则可得到，，共面．而由图可知，，不共面． 答案：A 6．如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，则等于(　　) A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：＝＋＋＝＋＋ ＝－＋＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c. 答案：B 二、填空题 7．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________. 解析：ke1＋e2与e1＋ke2共线， 则有ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 又∵e1，e2不共线， ∴或 答案：1或－1 8．已知空间向量的一个基底{i，j，k}，a＝i－j＋k，b＝i＋j＋k，c＝2i＋2k，则下列结论正确的是________． a与b共面；a与c共面；a，b，c共面． 解析：两个向量一定共面，故正确，又c＝a＋b，a，b，c共面，正确． 答案： 9．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，点H是ACD的重心．若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________. 解析：＝＝·(＋)＝(＋＋＋)＝＋(＋)，x＝，y＝. 答案：　 三、解答题 10．如图所示，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝. 求证：四边形EFGH是梯形． 证明：因为E、H分别是AB、AD的中点， 所以＝，＝， 所以－＝(－)， 即＝. 同理－＝(－)， 即＝.所以＝， 所以，且||≠||， 又H，E，G，F不共线，所以四边形EFGH是梯形． 11．空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设＝a，＝b，＝c.试用向量a、b、c表示向量. 解：如图，连接OH并延长交BC于点D，连接AD，OG. ＝－，＝＝×(＋)＝(b＋c)， ＝＋＝＋ ＝＋×(＋) ＝＋(－＋－) ＝(＋＋)＝(a＋b＋c)， ＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a. 12．已知斜三棱柱ABC－A′B′C′，设＝a，＝b，＝c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N，使＝k，＝k(0≤k≤1)． 求证：(1)与向量a和c共面； (2)MN与面A′AB平行吗？ 证明：(1)显然＝k＝kb＋kc， 且＝＋＝a＋k ＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb， ＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. 因此，与向量a和c共面． (2)由(1)知与向量a，c共面， a，c在面A′AB内，而MN不在面A′AB内，所以MN面A′AB.