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郑州大学2005级微积分考试试题A 郑州大学2005 一、求极限：（每题?5?分，共?20?分） 分数 评卷人 1．? 2.? 3． 4.? 二、求导数或微分：（每题?5?分，共?20?分） 分数 评卷人 1． 2．设 3.设y=y(x)由方程所确定，求y’(0) 4． 三、求下列积分：（每题?6?分，共30?分） 分数 评卷人 1． 2． 3.? 4. 5.求 四、[本题10分]?设x为实数，的 分数 评卷人 ???单调性，凹凸性，奇偶性。 五、[本题12分] 分数 评卷人 在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求 1.???????切点M的坐标及过切点M的切线方程。 2.???????上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 六、[本题8分]?设函数f(x)满足f ”(x) –f(x)=0?且曲线?y=f(x)?在原点外与直线?y=x相切，求f(x). 分数 评卷人 郑州大学2005A理工课程试题及其参考答案 一．?? 1． 解： 2． 解： 3． 解： 4． 解： 二．求下列函数的导数或微分 1．，求 解：?? ??????? 2．，求 解：两边取对数 ????上式两边关于求导，得： ????所以，， ???? 3．设函数由方程确定，求 解：方程两边同时关于求导，得： ??????所以， ???故???? 4．设求 解：?? ????? 三．求下列积分 1． 解： 2． 解： ?????????? 3． 解： ???? 4．已知是的一个原函数，求 解： ????? 5． 解： 四．设。 （1）研究的单调性及上（下）凸性； （2）研究的奇、偶性。 解：（一）?1．因为，所以，在内单增； ????2．又因为故 ?????（1）当时，在内是下凸的； ?????（2）当时，在内是上凸的。 （二）?故为奇函数。 五．在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求 1.???????切点M的坐标及过切点M的切线方程。 2.???????上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 解：（一）????设切点为，则切线方程为， 即。所以，解得： 于是，切点为，切线方程为 （二）切线与轴的交点为，则所求旋转体的体积为 ?六．求微分方程在初始条件下的特解。 解：（一）微分方程的特征方程为其特征根为 故方程通解为 ??（二）代入初始条件后，得： ，解得 故原微分方程的特解为：