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2012届本科毕业论文（设计） 题目：傅里叶级数的讨论 学 院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学07-3班 学生姓名：阿依提拉汗.哈力克 指导教师：马哈提老师 答辩日期：2012年5月3日 目 录 引言 3 1 傅里叶级数的来源 3 2 傅里叶级数 3 2.1 三角级数，正交函数 3 2.2 以为周期的函数的傅里叶级数 4 2.3 以为周期的函数的傅里叶级数 4 2.4 偶函数与奇函数的傅里叶级数 4 3 基本理论 4 3.1 收敛性定理 4 3.2 黎曼引理 5 3.3 傅里叶级数部分和的积分表达式 5 4 求函数的傅里叶展开式的一般方法 5 4.1 设为（或上按段光滑的函数 5 4.2 设为（-或上按段光滑的函数 5 4.3 求偶函数、奇函数（或把定义在半个周期上的函数）展开成余弦级数、正弦级数的方法 6 4.4 利用已知函数的傅里叶级数展开式求某些数项级数的和数的方法 6 5 傅里叶级数的优点和缺点 6 5.1 傅里叶级数的优点 6 5.2 傅里叶级数的缺点 6 6 在傅里叶级数中“平方均值偏差”的意义 7 7 总结 7 参考文献： 8 致谢 9 傅里叶级数的讨论 摘要：本篇文章主要讲的是怎样的函数可以展开成傅里叶级数、怎样对函数进行傅里叶级数展开、傅里叶级数的优点和缺点、傅里叶级数的应用。还有讲傅里叶级数与别的级数的区别、若干个基本定理。本文证明了傅里叶级数展开式按正弦、余弦组合后在相加合法的合理性。还有周期函数在任何一个周期长度的区间上计算所得的傅里叶级数相同，因此在应用时，为了简化计算我们应选择合适的积分区间。通过这篇论文，要掌握利用傅里叶级数讨论函数的性质，要掌握傅里叶级数与别的级数的区别和共同特点，还好掌握傅里叶级数的应用. 关键词：傅里叶级数；展开式；三角级数；正交函数系；收敛 引言 有限区间函数的傅里叶级数展开在课程中比较重要,对它掌握得好坏影响的对本征函数(傅里叶级数)展开法求解定解问题的掌握和理解。通常教材对此间题并未作详细的论述,但实际上教学效果表明,详细讨论此问题是有意义的。有限区间函数的延拓 一般而言,周期函数只要满足狄利稀莱条件就可以展开为傅里叶级数。 法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为他们是正交的），后时称为傅里叶级数，一种特殊的三角级数。 法国数学家傅里叶在研究偏微分方程边值问题的提出，极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。傅里叶1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创傅里叶变换的基本思想首先由傅里叶提出，所以以其名字来命名以示纪念 2傅里叶级数 2.1三角级数，正交函数系 记 则级数 ，它是由三角函数列 所产生的一般形式的三角级数.若三角级数（1）收敛，则它的和一定是一个以为周期的函数. 若在区间上可积，且，则称函数.具有正交性的函数系称为正交函数系. 在上正交，称为三角函数正交系. 而 由三角函数系所产生的形如 的级数称为三角级数. 若级数收敛，则三角级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 2.2以为周期的函数的傅里叶级数 设是周期为的可积函数，计算积分 称其为函数关于三角函数系的傅里叶系数.级数称为函数关于三角函数系的傅里叶级数，记为 ① 2.3以为周期的函数的傅里叶级数 设是周期为的可积函数.级数 其中 （ （ 称为函数的傅里叶级数，称为傅里叶系数.② 2.4偶函数与奇函数的傅里叶级数 若是周期为的可积偶函数，可展开成为余弦级数 其中， （. 若是周期为的可积奇函数，可展开成为正弦级数 其中 （③ 3 基本理论 3.1收敛性定理 若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点，的傅里叶级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值，即 其中为在上的傅里叶系数. 3.2黎曼引理 若函数在可积，则 特别地：若函数可积，则 若函数可积，则 例题：设 将展开成以为周期的傅里叶级数. 解：依常规方法计算傅里叶级数. 故 3.3傅里叶级数部分和的积分表达式 若函数是以为周期函数且在