雷勇行列式计算方法研究.docVIP

行列式计算方法的归纳 摘 要 行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过 3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式） 也可按行列式的定义求值.对于一般n阶行列式，特别是当n较大时，直接用定 义计算行列式几乎是不可能的事.因此，研究一般n阶行列式的计算方法是十分 必要的.由于不存在计算n阶行列式的一般方法，所以，本文只给出4种特殊的 计算方法给出了行列式的4种计算方法，综合利用所给解法，基本上可解决一般 4阶行列式的计算方法问题. 关键词 行列式； 三角形行列式； 递推关系式 1 化三角形法 此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号 例 计算n阶行列式 解 2 提取公因式法 若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法. 例 计算n阶行列式 解 该行列式各行元素之和都等于 x+，属于“全和型”，所以 3 利用范德蒙德（Vandermonde）行列式法 著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果. 例 计算n阶行列式 解 将第一行可视为，再由行列式的性质 把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i+1行；第二个行列式的第i列提取（i=1，2，3……n），得 4利用递推关系法 所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值. 例 计算n阶行列式 ，其中 解 将的第一行视为（a-c）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得 (1) 于b与c的对称性，不难得到 (2) 联立（1），(2）解之，得 例 计算n阶行列式 解 将按第一行展开，得于是得到一个递推关系式 ，变形得 ， 易知 所以 ，据此关系式在递推，有 如果我们将 的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行 列式的和，那么可直接得到递推关系式 ，同样可 的值. 综上述，我们介绍了计算行列式的4种方法，还有一些方法和技巧由于篇幅所限不再列举.最后指出：计算一个行列式常常有多种方法，有时计算一个行列式需要几种方法配合使用.对于给定的行列式，究竟选择何种方法为好，好需要在实践中积累经验. 参考文献 [1] 王品超.高等代数新方法.山东教育出版社，1989. 1