非线性规划讲稿.docVIP

第一节 基 本 概 念 一、非线性规划问题 1．模型 例1．油厂向电厂月送燃料油：5000 上下底板：40元/， 侧面板：30元/ 一次往返运费：50元 试确定使总费用最小的油罐尺寸及运送次数。 解：设油罐的底半径为米，高为米，月运送次数为，根据题意可得该问题的数学模型如下 在本例中，目标函数及约束条件均是非线性函数，这样的问题就是非线性规划问题。 非线性规划问题的一般数学模型可以描述为 或 模型中，目标函数和约束条件中至少有一个为非线性函数。 ２．非线性规划问题的特点 （1）非线性规划问题在可行域中可以有多个极值点，其中函数值最小的点称为全域极小值点，或最小值点。 （2）这些极值点可以出现在可行域的内部、边界等不同部位上（即，可行域上任意点都可能是极值点）。 二、多元函数的极值 １．梯度 定义１：设为定义在中区域上的元可微函数，，则称向量 为在点的梯度，记作 关于梯度，我们常用下面两个结论： （1）在点附近，值沿负梯度方向减小最快。 （2）垂直于过点的等值面。 ２．海赛（Hesse）矩阵 定义2：设具有二阶连续偏导数，则称 　　　　 为在点X的海赛矩阵。 ３．极值点的必要条件 定理1：设为定义在中区域上的元连续函数，是的内点，且在点可微。若是的极值点，则 或 ４．极值点的充分条件 定理2：设在中区域内有二阶连续偏导数，若是的内点，且，则为局部极小值点的充分条件为 为局部极大值点的充分条件是 式中：为任意非零向量；为在点的海赛矩阵。 ５．判断H正定性的方法 （1）对称矩阵正定的充分必要条件为的特征值均为正数。 （2）对称矩阵是正定的充分必要条件为的各阶主子式均为正。 三、函数的凸性 １．凸函数的定义 定义3：设是定义在中某凸集上的函数，若对中任意两点以及任意一个实数恒有 则称为为定义在凸集上的凸函数。（向下） 若上式中的“≤”换为“”，则称为严格凸函数。 “≤”分别改为“≥”和“”，则分别称为上的凹函数和严格凹函数。 显然，定义在凸集上的线性函数既是凸函数，也是凹函数。 ２．凸函数的性质（略） （1）若是凸集上的凸函数，则当时，是上的凸函数；时，是上的凹函数。 （2）若均为凸集上的凸函数，α、β为任意正实数，则也是上的凸函数。 （3）设是定义在凸集上的凸函数，则对于任一实数，集合 是凸集。 ３．函数凸性的判定（略） 定理３：设是定义在中开凸集上的可微函数，则是上的凸函数的充分必要条件是，对任意恒有 证明：（必要性）由于是上的凸函数，故对任意均有 即 令从正向趋于零，则上式左端极限 从而得 再证明充分性，设令，，此时有 用和分别乘上面两式，然后两端分别相加得 即 为凸函数 定理４：设是定义在开凸集上的二次可微函数，则是上的凸函数的充分必要条件是，的海赛矩阵在上半正定。 证明：设，由泰勒公式有 由定理３知为凸函数的充分必要条件为 即为上的半正定矩阵。 同理，若是上的正定矩阵，则是上的严格凸函数。 【例3－3】 判别下列函数的凸性 解：由于 所以， 因为：，，所以在全平面上正定，故是上的严格凸函数。 ４．凸函数的极值 定理５：设是定义在凸集上的凸函数，则它的任一极小值点就是它在上的最小值点。 证明：设为的极小值点，则一定存在某一邻域，使当时，总有 对任意，当λ充分小时，且时，必有 所以 由于 从而 即 所以是上的最小值点。 由此定理可知，若可行域为凸集，而目标函数是上的凸函数，则求到的极小值点就是最小值点，以后称这样的规划为凸规划。 第二节 无约束非线性规划 一、无约束非线性规划问题及一维有哪些信誉好的足球投注网站 或 　　　　 　　一般很难求出准确解，常常是求一个满足给定误差的近似解。求近似极值点常用的方法是有哪些信誉好的足球投注网站法。 １．有哪些信誉好的足球投注网站法的一般思想 从近似点出发， 确定有哪些信誉好的足球投注网站方向， 后确定一个步长， 得下一个近似点： 使之满足，这样经过迭代有哪些信誉好的足球投注网站即可逐步趋向极小值点，直到满足规定的计算精度为止。 ２．有哪些信誉好的足球投注网站法的分类 确定有哪些信誉好的足球投注网站方向和步长的不同方就是不同的有哪些信誉好的足球投注网站算法。 确定的方法主要是用最佳步长法和一维有哪些信誉好的足球投注网站法。最佳步长是指满足 的 根据的不同，常用的有哪些信誉好的足球投注网站方法有最速下降法、广义牛顿法、共轭梯度法、变度量法、步长加速法、方向加速法、单纯形法等。 根据求解是否用到了的一阶偏导数或二阶偏导数，有哪些信誉好的足球投注网站法常分为： （1）解析法，即求解时用的一阶或二阶偏导数的方法。这种的优点是收敛速度快，缺点是对要求较高，适应性较弱。 （2）直接法，即求解时只用到函数值，不利用偏导数的方法。它的优点是不需要求偏导数，因此，对不易求偏导数的函数，甚至没有表达式的函数都能适用，所