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项目四 无穷级数 实验 无穷级数（基础实验） 实验目的 观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用Mathematica求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法. 基本命令 1. 求无穷和的命令Sum 该命令可用来求无穷和. 例如,输入 Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}] 则输出无穷级数的和为 命令Sum与数学中的求和号相当. 2. 将函数展开为幂级数的命令Series 该命令的基本格式为 Series[f[x],{x,x0,n}] 它将展开成关于的幂级数. 幂级数的最高次幂为余项用表 示. 例如,输入 Series[y[x],{x,0,5}] 则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数 3. 去掉余项的命令Normal 在将展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用 Normal命令. 例如,输入 Series[Exp[x],{x,0,6}] Normal[%] 则输出 4. 强制求值的命令Evaluate 如果函数是用Normal命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入 fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]] Plot[fx,{x,-3,3}] 则只能输出去掉余项后的展开式 而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入 Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}] 则输出上述函数的图形. 5. 作散点图的命令ListPlot ListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入 ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle-PointSize[0,012]] 则输出坐标为的散点图(图1.1). 图1.1 6. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入 Clear[g,gf]; g[x_]:=x/;0=x1 g[x_]:=-x/;-1=x0 g[x_]:=g[x –2]/;x=1 则得到分段的周期函数 再输入 gf=Plot[g[x],{x,-1,6}] 则输出函数的图形1.2. 图1.2 注:用Which命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)”来 定义周期性分段函数更方便些. 用Plot命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica命 令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which定义的分段函数可以求导但不能积 分. Mathematica内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分. 因此在求分 段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函 数UnitStep的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了. 实验举例 数项级数 例1.1 (教材 例1.1) (1) 观察级数的部分和序列的变化趋势. (2) 观察级数的部分和序列的变化趋势. 输入 s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}]; ListPlot[data]; N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]] N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40] 则输出(1)中级数部分和的变化趋势图1.3. 图1.3 级数的近似值为1.64493. 输入 s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}]; ListPlot[data,PlotStyle-PointSize[0.02]]; 则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图1.4. 图1.4 例1.2 (教材 例1.2) 画出级数的部分和分布图. 输入命令 Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3; While[1/n10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n; g=Append[g,Graphics[{R