高三第一轮复习数学多面体与正多面体.docVIP

高三第一轮复习数学---多面体 一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题； 二、教学重点： １、欧拉公式 （如何运用） 2、割补法求体积　 三、教学过程： （一）主要知识： 1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体． ２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。一切凸多面体都是简单多面体。 4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体． 5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式． 6、五种正多面体的顶点数，棱数和面数 　　项目 类型 Ｆ Ｖ Ｅ 过顶点 的棱数 各 面 边 数 面的特征 正四面体 ４ ４ ６ ３ ３ 正三角形 正六面体 ６ ８ １２ ３ ４ 正方形 正八面体 ８ ６ １２ ４ ３ 正三角形 正十二面体 １２ ２０ ３０ ３ ５ 正五边形 正二十面体 ２０ １２ ３０ ５ ３ 正三角形 思维方式: 空间想象及转化思想 特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体． （二）例题分析： 例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（　）个 Ａ．１　　Ｂ．２　　Ｃ．３　　Ｄ．４ (2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1)　B （２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30） 思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２ 例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目． 解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x个，八边形晶面有y个，则Ｆ＝x+y，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6． 说明： 例3： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿ 解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为，体积为．所以体积之比为１:６． 思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时． 挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（） 　　　（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（） 例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积． 解：（一）补成一个正方体，如图，V==864 （二）补成一个直三棱锥，如图，V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864． 思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法． 思考题：如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（　　） （A） （B）5 （C）6 （D） 解：D （三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（　）个 Ａ．１　　Ｂ．２　　Ｃ．３　　Ｄ．４ (２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种 (３)一个凸多面体的棱数为 ３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1)　B （２）3 （３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目． 解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x