高三第一轮复习空间向量坐标运算.docVIP

高三第一轮复习-空间向量的坐标运算 一、教学目标：：向量的坐标运算和建系意识． 二、教学重点：向量的坐标运算 三、教学过程： （一）主要知识： 1．空间直角坐标 在空间选定一点O和一个单位正交基底{ī，j，k}，以点O为原点，分别以ī，j，k的正方向建立三条坐标轴： x轴，y轴，z轴，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz。点O叫原点，ī，j，k叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。任一点A对应一个向量，存在唯一的实数组x、y、z. xī+y j+z k. 记为A（x、y、z）,叫空间直角坐标系中的坐标。其中x叫点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标 2．向量的直角坐标运算 （1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则 a+b=( a1 +b1 ，a2 +b2，a3+b3) a-b=( a1 -b1 ，a2 -b2，a3-b3) λa=（λa1，λa2，λa3）（λ∈R） a·b=a1b1+a2b2+a3b3 a∥b? a1 =λb1 ，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R） a⊥b? a1b1+ a2b2 +a3b3=0 （2）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则 （b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=( b1 -a1 ，b2-a2，b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 3．夹角和距离公式 设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则 a·b= a1b1+a2 b2+a3b3 已知，则 为空间两点间距离公式 4．如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记为如果，那么向量a叫做平面α的法向量 5. 设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则AB中点坐标为 6.向量位置与立体几何中位置对照: ⑴AB//CD ⑵ ⑶证A、B、C、D四点共面可通过证 ⑷ ⑸线线角即为两向量的夹角或其补角 ⑹线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减900 ⑺面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 ⑻距离可通过求在法向量上投影的长度得到 （二）例题分析： 例1（1） 已知直角坐标系内三点A（2，4，1），B（3，7，5），C（4，10，9），判断A、B、C三点是否共线？ （2）已知直角坐标系内四点A（2，3，1），B（4，1，-2），C（6，3，7），D（-5，4，8），判断A、B、C、D四点是否共线？ 解：（1）可见共线，即A,B,C三点共线。 （2）则 由（1）（2）解得x=代入（3）式不成立，故方程组无解，即不存在x,y使成立，故A、B、C、D四点为共面。 例2 已知=（cosα,1,sinα）,=(sin,1,cosα),则向量+与-的夹角是（ ） A．900 B．600 C．300 D．00 解1： ︱︱=︱︱，故（+）（-）=2-2=︱2-2=0，故 （+）⊥（-） 选A 解2：+=（sinα+cosα,2,sinα+cosα）=(cosα-sinα,0,sinα-cosα) 故〈+，-〉=900 选A 例3 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为。求AC1与侧面ABB1A1所成角。 解1：以A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系， 由已知条件，得A（0，0，0），B（0,a,0）,A1(0,0, ,取A1B1的中点M，得M（，所以 =，=（0,a,0）,= (， 因为。=0，。=0，所以MC1⊥面ABB1A1，所以AC1与AM所成角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。因为 =，=，。=0+，，，所以， 所以，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300 解2：设面侧面ABB1A1的法向量为，则=（1，0，0），又=，与的夹角余弦值为，故与的夹角为1200，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300 例4 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a,BC=b,PA=c.(1)求证：MN⊥AB。（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a,b,c无关），MN是直线AB与PC的公垂线段。 解：（1）建立如图空间直角坐