高中两角差的余弦公式.docVIP

教 案 课题名称 两角差的余弦公式 学时 1 试讲日期 2013 年 6月29日（星期六） 指导教师 审批意见 评课老师 意 见 教学目标 知识目标 掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。 (2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。 能力目标 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。 德育目标 通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。 教学重点 通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。 教学难点 两角差的余弦公式探索与证明。 教学方法 问题诱思法，探究法，演练结合法。 学习方法 积极主动参与两角差的余弦公式的论证过程，重点理解利用向量数量积论证公式的过程。着重记忆论证过程中分类讨论思想的运用。并在教师的指导下，通过认真观察，积极思考，用数形结合的方法从直观上打开突破口，探究归纳出两角差的余弦公式。 教学过程 提出问题 （1） cos( π —β)＝ ? （2） cos( 2π —β)＝ ? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角α取代后，式子变得怎样啦？ cos( α－β )＝ ? 究竟等于多少呢？ 大家可以猜想：（学生回答： cosα-cosβ， cosα+cosβ等） 不妨代入特殊角度进行验证（α=600 ，β=300 ，cos( α－β )＝cos300=≠cos600—cos300≠cos600+cos300 ）可见，上述猜想不成立，那么cos( α－β )＝ ? 探索新知 提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。 （1）构建直角：首先我们对简单的情况进行讨论：设角α，β∈（0，），且 αβ，角α的终边与单位圆O交于点P1 。P1OX=α ，P1OP=β,则 α—β=XOP，既然要求cos(α－β)，那么就要在单位 圆表示出它的值，则过P作X轴的垂线交X轴于M点， cos(α－β)=OM，为了用α，β的正弦线和余弦线来表示 OM，过点P作垂线交OP1于A，过A作垂线交X轴于B，连接AB 且作PC垂直AB于C，则PC=BM，有BAP＝α，有OM=OB+BM 。 OB=OA cosα=cosβcosα，BM=PC=AP sinα=sinβsinα 。 cos(α－β)=OM=OB+BM=cosβcosα+sinβsinα， 即： 这就是今天我们要学习的知识，但值得注意的是，这个结论是在α，β∈（0，），且 αβ，的情况下得到的，那么对于任意角α，β是否有同样的结论呢？（学生思考） 师：经过验证，这是成立的。下面我们来证明结论。 课堂练习：证明 cos(α＋β)=cosαcosβ―sinαsinβ （2）向量的数量积： 看上一结论，用类比思想得出：上述公式象数量积的坐标表示。 复习 如图： 设，则=α—β 如图，通过构建向量积，得出： 在图中又有与的夹角为 根据向量积的公式有 同学们可能考虑到，这里的α，β是否只能是锐角，当然这里的α可以表示为， 如图中的（1），另一方面，象图（2）中的表示， 综合起来就是, α,β都是任意角，且有 对任意都有 ： 小结：这个公式适用于所有角的计算，只要知道了的值，就能算出 的值了. 典例分析 例1 利用差角的余弦公式求的值. 分析：已知角需要用两个特殊角的差来表示，并且是便于计算三角函数值的角。 （提问）取什么角好计算？ 解法1： = . 解法2：cos150=cos(600—450) =cos600cos450＋sin600sin450＝ 例2 已知，是第三象限角， 求的值. 分析：本题没有直接给出我们需要的定值，就需要我们根据已知条件找出所需量. 解：由，得 又由是第三象限角，得 所以 设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。 变式练习： 小结巩固 1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。 2.两角差的余弦公式及其特点： 3.利用两角差的