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高中数学 余弦定理(一)教案 北师大版必修.docVIP

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高中数学 余弦定理(一)教案 北师大版必修

2.1.3余弦定理(一) 知识梳理 余弦定理: (1)形式一:,, 形式二:,,,(角到边的转换)(2)解决以下两类问题: 1)、已知三边,求三个角;(唯一解) 2)、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解) 题型一 根据三角形的三边关系求角 例1.已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=(+1)∶(-1)∶,求最大角. 解:∵===k ∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=(+1)∶(-1)∶ 设a=(+1)k,b=(-1)k,c=k (k>0) 则最大角为C.cosC= ==- ∴C=120°. 评析:在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧,应熟练掌握.在三角形中,大边对大角,所以角C最大。 题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形 例=,=,且,是方程的两根,。 求角C的度数; 求的长; (3)求△ABC的面积。 解:(1) (2)因为,是方程的两根,所以 (3) 评析:在余弦定理的应用中,注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出,要充分利用两根之和与两根之差的特点。 备选题 正、余弦定理的综合应用 例3.在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且 求b 解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。 所以…………………………………① 又, ,即 由正弦定理得,故………………………② 由①,②解得。 评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 例3.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为,,,证明: 。 证明:由余弦定理知: , 则 , 整理得: , 又由正弦定理得: , , 评析:三角形中的证明,应充分利用正、余弦定理,三角函数的公式,在边、角关系中,明确证明思路,都化为边的关系或都化为角的关系。 . 点击双基 1.在△ABC中,若a=2, b=2, c=+,则∠A的度数是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 解:=,A=30° 答案:A 2.在△ABC中,若则 ( ) A. B. C. D. 解: 答案:B 3. 在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解由2cosBsinA=sinC得×a=c,∴a=b. 答案C 4.在△ABC中,若∶∶∶∶,则_____________。 解:∶∶∶∶∶∶, 令 答案: 5. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知 则A= . 解:由余弦定理可得, ∴ 答案: 课后作业 1.边长为的三角形的最大角与最小角的和是( ) A. B. C. D. 解: 设中间角为,则为所求 答案:B 2. 以4、5、6为边长的三角形一定是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 解:长为6的边所对角最大,设它为, 则 答案:A 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为( ) A. B. C. D. 解:设顶角为C,因为, 由余弦定理得: 答案:D 4.在中,角A、B、C的对边分别为、、,若,则角B的值为( ) A. B. C.或 D. 或 解:由得即 ,又B为△ABC的内角,所以B为或 答案:D 5.在△ABC中,若,则最大角的余弦是( ) A. B. C. D. 解: ,为最大角, 答案:C 6. 在中,,则三角形为( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解:由余弦定理可将原等式化为 答案:C 7.的内角的对边分别为,若,则等于( ) A. B.2

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