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高中数学 余弦定理(一)教案 北师大版必修
2.1.3余弦定理(一)
知识梳理
余弦定理:
(1)形式一:,,
形式二:,,,(角到边的转换)(2)解决以下两类问题:
1)、已知三边,求三个角;(唯一解)
2)、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1.已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=(+1)∶(-1)∶,求最大角.
解:∵===k
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=(+1)∶(-1)∶
设a=(+1)k,b=(-1)k,c=k (k>0)
则最大角为C.cosC=
==-
∴C=120°.
评析:在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧,应熟练掌握.在三角形中,大边对大角,所以角C最大。
题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形
例=,=,且,是方程的两根,。
求角C的度数;
求的长;
(3)求△ABC的面积。
解:(1)
(2)因为,是方程的两根,所以
(3)
评析:在余弦定理的应用中,注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出,要充分利用两根之和与两根之差的特点。
备选题 正、余弦定理的综合应用
例3.在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且 求b
解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又,
,即
由正弦定理得,故………………………②
由①,②解得。
评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
例3.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为,,,证明:
。
证明:由余弦定理知:
,
则
,
整理得:
,
又由正弦定理得:
, ,
评析:三角形中的证明,应充分利用正、余弦定理,三角函数的公式,在边、角关系中,明确证明思路,都化为边的关系或都化为角的关系。
. 点击双基
1.在△ABC中,若a=2, b=2, c=+,则∠A的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
解:=,A=30°
答案:A
2.在△ABC中,若则 ( )
A. B. C. D.
解:
答案:B
3. 在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解由2cosBsinA=sinC得×a=c,∴a=b.
答案C
4.在△ABC中,若∶∶∶∶,则_____________。
解:∶∶∶∶∶∶,
令
答案:
5. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知 则A= .
解:由余弦定理可得,
∴
答案:
课后作业
1.边长为的三角形的最大角与最小角的和是( )
A. B. C. D.
解: 设中间角为,则为所求
答案:B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
解:长为6的边所对角最大,设它为, 则
答案:A
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解:设顶角为C,因为,
由余弦定理得:
答案:D
4.在中,角A、B、C的对边分别为、、,若,则角B的值为( )
A. B. C.或 D. 或
解:由得即
,又B为△ABC的内角,所以B为或
答案:D
5.在△ABC中,若,则最大角的余弦是( )
A. B. C. D.
解: ,为最大角,
答案:C
6. 在中,,则三角形为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解:由余弦定理可将原等式化为
答案:C
7.的内角的对边分别为,若,则等于( )
A. B.2
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