高中数学《函数模型及其应用》素材 新人教A版必修.docVIP

函数模型及其应用复习小结 复习目标： 能用函数刻画实际问题，强化函数的应用意识． 能利用计算器或计算机，比较指数函数、对数函数、及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义． 掌握实际问题的数学建模过程，能把所学的知识真正应用到实际生活中去． 知识要点： 一．不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律．例如，指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．你能说说这三种函数模型的增长差异吗？你能举例说明直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义吗？ 二．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？ 三．用函数模型解决实际问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理．在处理复杂数据的过程中，需要大量使用信息技术．因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用． 典型例题解析： 例１． 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0x1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价—成本）×日销售量，且设增加成本后的日利为y. （Ⅰ）写出y与x的关系式； （Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？ （Ⅱ）要保证日利润有所增加,当且仅当 本例主要是利用二次函数来解决实际问题，这是本节中的一个重点，也是难点，更是易错点．在解决实际问题时，常把实际问题转化为二次函数的有关知识来解决，如求最值问题等，但要注意函数的定义域． 即 ， 解得 点评：本例是实际应用问题，解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形。 练习１： １．某产品总成本C（万元）与产量（台）满足关系，其中，若每台产品售价25万元，则厂家不亏本的最低产量为 台． 某商场售物A，日销量1000件，每件可获利4元，据经验，每件降价元，则每天多买100件，问每件减价元，每天利润最大为元． 解：元 （1）在1975年某市每公斤猪肉的平均价格是元，而到了2005年，该市每公斤猪肉的平均价格是元，假定这30年来价格年平均增长率相同，求猪肉价格的年平均增长率． （2）另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2005年，该市职工月平均工资是860元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到2020年，估计该市职工月平均工资是多少元． 解：（1）设猪肉价格的年平均增长率是，则有．利用计算器可得． （2）该市职工月工资和年平均增长率是，则有，利用计算器可得． 因为，因此人们的生活水平是日益提高． 照这样的速度到2020年，职工月平均工资是元． 我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为，则 （ ） A B． C． D．，故18年可翻两番． 例３．我国1999年至2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表： 年份 1999 2000 2001 2002 ｘ 0 1 2 3 生产总值 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398 画出函数图形,猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式； 利用得出的函数关系式求生产总值并与表中实际生产总值比较； 利用关系式预测2003年我国的国内生产总值． 分析：根据数据表，画出散点图，用比较合适的函数拟合散点，从而得到一个函数模型，然后用此模型解释这一实际问题． 解：（１）画出函数图形（略），从图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为，把两点（０，8.2067）和(3,10.2398)代入公式,解得．所求的函数关系为． （２）由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为，．与实际的生产总值相比,误差不超过0.1亿元． （３）若按此规律增长，2003年时，即ｘ＝４时，可得 培养学生对数据的分析处理的能力，在刻画拟合函数时，培养学生的动手能力及分析推理能力，让学生体会求拟合函数的基本过程，并在以后的学习生活中加以运用． ．即预测2003年国内生产总值约为10．9175万亿元． 点评：通过上述模型解决实际问题是否符合实际情况，还要经过实践的验证，若与实际误差较大，就要修正得到