高中数学必修正弦定理余弦定理水平测试题及解析.docVIP

高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题 1．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　 　) A. B. C. 或 D. 或 2．已知锐角ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　 　) A．75° B．60° C．45° D．30° 3．(2010·上海高考)若ABC的三个内角满足sin Asin B∶sin C＝511∶13，则ABC (　 　) A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　 　) A. B. C. D. 5．(2010·湖南高考)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则(　 　) A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a与b大小不能确定 二、填空题 6．ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝________. 7．(2010·山东高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________． 8．已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 三、解答题 9．ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.a2－c2＝2b，且sin B＝4cos Asin C，求b. 10．在ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab. 求角C的大小； 又若sin Asin B＝，判断ABC的形状． 11．(2010·浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为ABC的面积，且S＝(a2＋b2－c2)． 求角C的大小； 求sin A＋sin B的最大值． 1．【解析】由余弦定理cos B＝，由a2＋c2－b2＝ac，cos B＝，又0＜B＜π，B＝. 【答案】A 2．【解析】SABC＝×3×4sin C＝3，sin C＝. ∵△ABC是锐角三角形，C＝60°. 【答案】B 3．【解析】由sin Asin B∶sin C＝511∶13，得ab∶c＝511∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13. c2＞a2＋b2＝52＋112＝146，c2＞a2＋b2，根据余弦定理，易知ABC为钝角三角形． 【答案】C 4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为＝. 【答案】D 5．【解析】C＝120°，c＝a，由余弦定理，(a)2＝a2＋b2－2abcos 120°，ab＝a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，a－b＞0，故a＞b. 【答案】A 6．【解析】c2＝a2＋b2－2abcos C＝3，c＝，a＝c，则A＝C＝30°. 【答案】30° 7．【解析】sin B＋cos B＝sin(B＋)＝，sin(B＋)＝1，B＝. 又＝，得sin A＝，A＝. 【答案】 8．【解析】A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，2B＝A＋C，B＝，又BD＝BC＝2， 在ABD中，AD＝＝. 【答案】 9．【解析】法一　sin B＝4cos Asin C，由正弦定理，得＝4cos A，b＝4ccos A，由余弦定理得b＝4c·，b2＝2(b2＋c2－a2)，b2＝2(b2－2b)，b＝4. 法二　由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccos A，a2－c2＝2b，b≠0，b＝2ccos A＋2， 由正弦定理，得＝，又由已知得，＝4cos A，b＝4ccos A． 解得b＝4. 10．【解析】(1)由题设得a2＋b2－c2＝ab，cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，∴C＝. (2)由(1)知A＋B＝π，∴cos(A＋B)＝－，cos Acos B－sin Asin B＝－. 又sin Asin B＝，cos Acos B＝－＝，从而cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝1，由A，B(0，π)，A－B＝0，即A＝B，从而ABC为等边三角形． 11．【解析】(1)由题意可知absin C＝·2abcos C，所以tan C＝. 因0＜C＜π，C＝. (2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin(π－C－A)＝sin A＋sin(－A)＝sin A＋cos A＋sin A ＝sin(A＋)，C＝，0＜A＜，＜A＋＜，当A＋＝，即A＝时，sin(A＋)取最大值.sin A＋sin