高中数学必修第一章解三角形教案学案 正弦和余弦定理设计.docVIP

第一章 解三角形 本章概览 三维目标 1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。 2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。 3．通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。 4．本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。 5．本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。 本章知识网络 1.1　　第一版块 正弦定理揭示一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。倍，即 ；；； 余弦定理揭示一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，?已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角. ，如下图所示： ⑵若A为直角或钝角时: 余弦定理的应用： 利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题： 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。 问题与探究 【问题1】正、余弦定理都揭示的是同一个三角形的边角间的关系，有了这两个重要定理后，对于三角形的问题好似有了两把“宝剑”，那么这两把“宝剑”如何恰当地使用呢？ 【探究】就这个问题，通常须具体问题而定、视题中所给的条件而定。一般说来，正弦定理常宜解决下列问题：（1）已知两角及一边，求其它元素；（2）已知两边及其中一边的对角，求其它元素。而余弦定理常宜解决下列问题：（3）已知三边，求各角；（4）已知两边及其夹角，求其它元素。 由于三角形全等的判定定理有“角角边”、“角边角”、“边边边”、“边角边”，所以以上的（1）、（3）、（4）情形都只有一解，而（2）这样的情形可能有一解、两解或无解。 当然这也不是绝对的，有关解三角形的问题，在具体的问题中如何恰当地使用这两个定理，这的确必须视具体问题而定，有时在同一个问题中可能这两个定理要同时使用才能达到目的或者使用其中的任何一个定理都可以达到目的。另外还应当注意使用方式，是利用定理的原始形式还是使用相应的某种变形形式，这都是要在具体问题中去具体地分析才行。 【问题2】除了正、余弦定理所给出的同一个三角形的边角间的关系外，是否还有其它的一些边角关系呢？通过进一步地思考，由这两个定理还可以得到在三角形中的怎样一些结论？ 【探究】其实这两个定理本身仅揭示的是同一个三角形的基本的边角关系，还有很多其它的边角关系。比如，由正弦定理及其它相关知识还可以有这样的一些边角关系：，， 等。同样由余弦定理也可得到另外一些边角关系，以及把正、余弦定理结合在一起还可以得到一些新的结论，如：，等。（注：注意这些结论在解决相关问题时可以考虑恰当地选用。） 精题精讲 在中，若，，求的周长。 思路解析：本题是是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边，容易想到由正弦定理去考虑，先找出其中某个内角的大小或其正弦的大小，通过分析发现可以先将角给找出，进而把问题解决。 解：由正弦定理得 。 ，。 当时，，，的周长为； 当时，，，的周长为。 综上，的周长是或。 黑色陷阱：此类问题容易漏解。在以上的解题目过程中，由容易简单地得到 ，从而造成问题解答不全面， 产生这样的错误的原因是对于相关三角函数的知