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高中数学讲座 行列式的概念与运算 教学目的：理解二阶行列式的定义；掌握用二阶行列式解二元一次方程组； 用行列式判断二元一次方程组解的情况。 教学过程： 一、二阶行列式 （一）定义：我们用记号表示算式即 = 其中记号叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值。叫做行列式的元素。 （二）二阶行列式的展开满足：对角线法则 实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． （三）例和练习： 例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5） 例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？ （1） 二、用二阶行列式解二元一次方程组 设有二元一次方程组 用加减消元法得 (1)当 时，有（A）有唯一解， (B) 求根公式。 (2)当 时,无穷组解； （3）当 时无解。 记，系数行列式 ，——类比，对照则（1）当D≠0时， 方程组(A) 的解(B)可以表示成； （2）当D=0时, 无穷组解； (3) 当D=0时, 无解。 系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。 学生练习。用行列式解方程组。 解：化为标准形式解之； 三、三阶行列式 1、定义：形如： 的行列式叫三阶行列式；其计算法则如下; 叫对角线展开法则。 这种行列式称为代文字的行列式 , 计算时 , 可能麻烦一点 。 下面我们一起来分析 2 ，3 阶行列式之间的关系 ， 2、三阶行列式与相应的二阶行列式间的关系． (2)将三阶行列式表示成几个含有二阶行列式运算的式子。（1）、． （2）、 (3)、等等． 事实上，以为例，先将展开式变形为： ，然后分别提取公因式，可以得到 再利用已有的展开式 ① ② ③ 从而很容易就得到结果了． 其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素，，的余子式，添上相应的符号(正号省略)，如 ， 、、分别叫做元素，，的代数余子式 象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定． 代数余子式的确定方法：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第行，第列)有关，其代数余子式的正负号是“”． 一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)． 例1 按要求计算行列式： (1)按第一行展开； (2)按第一列展开． (1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)； (2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便． 例2.计算： = 例5、 注：关于行列式的计算，一般而言有三大类方法：一是利用行列式的理论（行列式的定义与性质等），二是利用矩阵理论，三是利用矩阵的特征值理论. 因此，要求读者做到：熟练掌握这些基本知识，牢记公式，并通过多做练习提高计算行列式的能力. 作业 另复印 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m - 6 - - - 6 - -