高中数学选修新教学案：空间向量的正交分解及其坐标表示.docVIP

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 【教学目标】 1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的； 2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量. 【重点】 空间向量的基本定理及其推论. 【难点】 空间向量基本定理唯一性的理解. 【创设情景】 平面向量基本定理的内容及其理解： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使（根据以下提纲，预习教材第 92 页～第 94 页） 1.空间向量的分向量的概念： 如图.设是空间三个两两垂直的向量,且有公共起 点.对于空间任意一个向量,设点为点在 所确定的平面上的正投影.由平面向量基本定理可知, 在,所确定的平面上,存在实数,使得 . 而在所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对,使得 . ∴. 由此可知,如果是空间三个两两垂直的向量,那么,对于空间任一向量,存在一个有序实数组,使得 . 我们称为向量在上的分向量. 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的微向量，能得出类似的结论吗？ 2.空间向量的基本定理及基底的概念： 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使. 由此，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 . 我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示. 3.空间向量的坐标的定义： 设为空间向量的一个单位正交基底,以公共起点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 对于任意一个空间向量,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,得到向量.由空间向量基本定理,存在有序实数组,使得 . 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标,记作. 【基础练习】 【典型例题】 例1 如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和 【审题要津】 解：； . 【方法总结】 例2 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量 【审题要津】 解： ∴ 【方法总结】 1．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+2)=0，则(ABC是（ ） A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形 C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　） A．外心B．内心　C．重心D．垂心 在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是（ ） A． 矩形 B． 菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 已知，，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（　　） A． B． C． D．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A B． C． D． 7．若上的投影为 。 ．向量，且A，B，C三点共线，则k＝ ． 在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________。 3 B D A B/ D/ E M C A/ O