高二数学(秋下)第讲空间向量及其应用.docVIP

第讲 空间向量及其应用 课程目标 掌握空间向量立体几何的题型 课程重点 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 课程难点 建立空间直角坐标系，应用空间向量解立体几何问题 教学方法建议 典型例题与知识点相结合，与高考题相结合，让学生理解并掌握处理空间向量应用立体几何问题的关键 选材程度及数量 课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A类 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 5 ）道 B类 （ 4 ）道 （ 4 ）道 （ 10 ）道 C类 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 5 ）道 知识梳理 空间直角坐标系及有关概念 （1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点. x轴，y轴，z轴统称坐标轴.由坐标轴确定的平面叫做坐标平面 （2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z轴的正方向； （3）空间一点M的坐标为有序实数组（x，y，z），记作M（x，y，z），其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标. 2空间两点间的距离公式 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则|AB|=空间向量有关定理 空间向量的概念及运算平面向量基本相同.加减运算遵循三角形法则或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，竖坐标. （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，∥的充要条件是存在实数λ，使得=λ； （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 注：若与确定平面为α，则表示的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得=.其中，叫做空间的一个基底. 4空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，，其范围是0≤，≤π，若，=π/2，则称与互相垂直，记为⊥. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作·，即·= （2）数量积的运算律； ②交换律； ③分配律：. 5.空间向量的有关运算 设. （1）坐标运算 ； ； . （2）共线与垂直的坐标表示； （均为非零向量）. （3）模和距离公式； 若则 方法归纳 1直线的方向向量与平面的法向量的确定 （1）直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量； （2）平面的法向量可利用方程组求出：设，是平面α内两不共线向量，为平面α的法向量，则.方程组中有三个变量，但只有两个方程，给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标. 2空间向量与空间角的关系 （1）设异面直线的方向向量分别为则所成的角θ满足； （2）设直线的方向向量和平面α的法向量分别为，，则直线与平面α所成角θ满足； （3）①如图①，AB，CD是二面角α--β的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小②如图②，分别是二面角α--β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足或 3.点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则B到平面α的距离 三、课堂精讲例题 问题一： 空间向量的概念及性质 【例1】有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底.其中正确的命题是 （ ） ①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】C 【解析】对于①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么一定共线”所以①错误.②③正确. 【适时导练】 下列命题正确的是（ ） 若与共线，与共线，则与共线 向量共面就是它们所在的直线共面 零向量没有确定的方向 若，则存在唯一的实数使得 【答案】C 【解析】A中向量为零向量时，B项中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D项中需保证不为零向量.问题二： 空间向量运算 【例2】如图在平行六面体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是 （ ） B