高二第讲 空间向量及运用(教师版).docxVIP

第5讲 空间向量及运用（教师版） 一．学习目标： 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． 4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 二．重点难点： 1.重点：（1）如何求直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，（2）会用向量法求各种空间角及空间距离．　 2.难点：正确掌握空间角的类型及各自的范围，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．　 三． 知识梳理： （一）空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb. 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 空间向量基本定理[来源:学.科.网] (1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c． (2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1. （二）、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. 2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a\o\al(222b\o\al(2223) （三）、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量． (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的． （四）用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. （五） 用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. （六）利用向量求空间角与距离： 1．两条异面直线所成的角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)． 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n||e||n|. 3．求二面角的大小 (1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 4．点面距的求法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝ AB→)|n| . 四．典例剖析： 题型一 向量法证明平行与垂直 例1（2012年福建理高考题）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。 （Ⅰ）求证：B1E⊥A D1（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。 解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则 ,故 (2)假设在棱上存在一点,使得平面,则 设平面的法向量为,则有,取,可得,要使