高数(上)第八单元课后习题答案.docVIP

习题8(8 1( 求函数f(x( y)(4(x(y)(x2(y2的极值( 解 解方程组( 求得驻点为(2((2)( 由于 A(fxx(2( (2)((2(0( B(fxy(2( (2)(0( C(fyy(2( (2)((2( AC(B2(0( 所以在点(2(2)处( 函数取得极大值( 极大值为 f(2(2)(8( 2( 求函数f(x( y)((6x(x2)(4y(y2)的极值( 解 解方程组( 得( ( ( ( ( 因此驻点为(0( 0)( (0( 4)( (3( 2)( (6( 0)( (6(4)( 函数的二阶偏导数为 fxx(x( y)((2(4y(y2)( fxy(x( y)(4(3(x)(2(y)( fyy(x( y)((2(6x(x2)( 在点(( 0)处( fxx(0( fxy(24( fyy(0( AC(B2((242(0( 所以f(0( 0)不是极值( 在点(( 4)处( fxx(0( fxy((24( fyy(0( AC(B2((242(0( 所以f (0( 4)不是极值( 在点(( 2)处( fxx((8( fxy(0( fyy((18( AC(B2(8(18(0( 又A(0( 所以f(3( 2)(36是函数的极大值( 在点(( 0)处( fxx(0( fxy((24( fyy(0( AC(B2((242(0( 所以f(6( 0)不是极值( 在点(6( 4)( fxx(0( fxy(24( fyy(0( AC(B2((242(0( 所以f(6( 4)不是极值( 综上所述( 函数只有一个极值( 这个极值是极大值f(3( 2)(36( 3( 求函数f(x( y)(e2x(x(y2(2y)的极值( 解 解方程组( 得驻点( A(fxx(x( y)(4e2x(x(y 2(2y(1)( B(fxy(x( y)(4e2x(y(1)( C(fyy(x( y)(2e2x( 因为在点处( A(2e(0( B(0( C(2e( AC(B2(4e2(0( 处取得极小值( 极小值为( 4( 求函数z(xy在适合附加条件x(y(1下的极大值( 解 条件x(y(1可表示为y(1(x( 代入z( xy( 于是问题化为z(x(1(x)的无条件极值问题( ( ( 令 得驻点( 因为为( 5( 从斜边之长为l的一切直角三角形中( 求有最大周界的直角三角形( 解 设直角三角形的两直角边之长分别为x( y( 则周长 S(x(y(l(0(x(l ( 0(y(l)( 因此( 本题是在x2+y2(l2下的条件极值问题( 作函数 F(x( y)(x(y(l+((x2+y2(l2)( 解方程组( 得唯一可能的极值点( 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在( 所以斜边之长为l的一切直角三角形中( 周界最大的是等腰直角三角形( 6( 要造一个容积等于定数的长方体无盖水池( 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小( 解 设水池的长为x( 宽为y( 高为z( 则水池的表面积为 S(xy(2xz(2yz(x(0( y(0( z(0)( 本题是在条件xyz(k下( 求S的最大值( 作函数F(x( y( z)(xy(2xz(2yz(((xyz(k)( 解方程组( 得唯一可能的极值点( 由问题本身可知S一定有最小值( 所以表面积最小的水池的长和宽都应为( 7( 在平面xOy 上求一点( 使它到x(0( y(0及x(2y(16(0三直线距离平方之和为最小( 解 设所求点的坐标为(x( y)( 则此点到x(0的距离为|y|(到y(0的距离为|x|( 到x(2y(16(0的距离为( 而距离平方之和为 ( 解方程组( 即( 得唯一的驻点( 根据问题的性质可知( 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在( 故即为所求( 8( 将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？ 解 设矩形的一边为x( 则另一边为(p(x)( 假设矩形绕p(x旋转( 则旋转所成圆柱体的体积为V((x2(p(x)( 由( 求得唯一驻点( 由于驻点唯一( 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值( 所以当矩形的边长为和时( 绕短边旋转所得圆柱体体积最大( 9( 求内接于半径为a的球且有最大体积