高数同济五版 .docVIP

习题7(4 1( 画出下列曲线在第一卦限内的图形( (1)( (2)( (3) ( 2( 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形( (1)( 解 在平面解析几何中( 表示直线y(5x(1与y(2x(3的交点( 在空间解析几何中( 表示平面y(5x(1与y(2x(3的交线( 它表示过点( 并且行于z轴( (2)( 解 在平面解析几何中( 表示椭圆与其切线y(3的交点(0( 3)( 在空间解析几何中( 表示椭圆柱面与其切平面y(3的交线( 3( 分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程( 解 把方程组中的x消去得方程3y2(z2(16( 这就是母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程( 把方程组中的y消去得方程3x2(2z2(16( 这就是母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程( 4( 求球面x2(y2(z2(9与平面x(z(1的交线在xOy面上的投影的方程( 解 由x(z(1得z(1(x代入x2(y2(z2(9得方程2x2(2x(y2(8( 这是母线平行于z轴( 准线为球面x2(y2(z2(9与平面x(z(1的交线的柱面方程( 于是所求的投影方程为 ( 5( 将下列曲线的一般方程化为参数方程( (1) ( 解 将y(x代入x2(y2(z2(9得2x2(z2(9( 即( 令( 则z(3sin t ( 故所求参数方程为 ( ( z(3sin t ( (2)( 解 将z(0代入(x(1)2(y2((z(1)2(4得(x(1)2(y2(3( 令( 则( 于是所求参数方程为 ( ( z(0( 6( 求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程( 解 由前两个方程得x2(y2(a2( 于是螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为 ( 由第三个方程得代入第一个方程得 ( 即( 于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为 ( 由第三个方程得代入第二个方程得 ( 即( 于是螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为 ( 7( 求上半球与圆柱体x2(y2(ax(a0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影( 解 圆柱体x2(y2(ax在xOy面上的投影为x2(y2(ax( 它含在半球在xOy面上的投影x2(y2(a2内( 所以半球与圆柱体的公共部分在xOy面上的投影为x2(y2(ax( 为求半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影( 由圆柱面方程x2(y2(ax得y2(ax(x2( 代入半球面方程( 得(0(x(a)( 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影为 (0(x(a)( 即z2(ax(a2( 0(x(a( z(0( 8( 求旋转抛物面z(x2(y2(0(z(4)在三坐标面上的投影( 解 令z(4得x2(y2(4( 于是旋转抛物面z(x2(y2(0(z(4)在xOy面上的投影为x2(y2(4( 令x(0得z(y2( 于是旋转抛物面z(x2(y2(0(z(4)在yOz面上的投影为y2(z(4( 令y(0得z(x2( 于是旋转抛物面z(x2(y2(0(z(4)在zOx面上的投影为x2(z(4(