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第八章 重积分 作业9 二重积分的概念与性质 1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小： （1）与 (a)D是由直线及所围成的闭区域； (b) D是由圆周所围成的闭区域． 解：(a)因为在区域内部有，从而大 (b)因为在区域内部有，从而大 （2）与 (a)D是矩形闭区域：； (b) D是矩形闭区域：． 解：(a)因为在区域内部有，从而大 (b)因为在区域内部有，从而大 （3）与，其中是由三个坐标面与平面所围成的闭区域． 解：因为在区域内部有，从而，因此大 2．利用积分的性质，估计下列各积分的值： （1），其中D是矩形闭区域：； 解：因为在区域内部有，因此 （2），其中为球体； 解：因为在区域内部有， 因此 （3），其中L为圆周位于第一象限的部分； 解：因为在曲线上积分， 不妨设， ， 因此 （4），其中为柱面被平面所截下的部分． 解：因为在曲面上积分，从而，， 因此 作业10 二重积分的计算 1．试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为： （1）由直线及双曲线所围成的闭区域； 解：作图得知区域D可以表示为：， 得 区域D也可以分块表示为： 从而 （2）环形闭区域：． 解：在极坐标下环形闭区域为 从而 在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为 2．改换下列二次积分的积分次序（填空）： （1）； （2）； （3）． 3．画出积分区域，并计算下列二重积分： （1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域； 解：作图，原式= （2），其中D是由所确定的闭区域； 解：作图，原式= （3），其中D是由不等式所围成的闭区域； 解：作图，原式= （4），其中D是顶点分别为的三角形闭区域． 解：作图，原式= 4．求由曲线所围成的闭区域的面积． 解：曲线方程联立，得 作图知，原式= 5．求由四个平面所围柱体被平面及 所截得的立体的体积． 解：四个平面决定的区域D为： 在区域D内部 从而所截得的立体的体积 6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分： （1） （2）； 7．利用极坐标计算下列积分： （1），其中D是由圆周所围成的闭区域； 解：D是圆周，即 从而 （2），其中是由圆所围成的闭区域； 解：D是圆周围成， 知其为 从而原式= （3）， D是与所确定的闭区域； 解：D是圆环的关于原点对称的两部分，，与 从而原式= （由对称性更简单：因为，对称点的积分微元反号） （4），其中D是介于两圆和之间的闭区域． 解：D介于两圆之间，可知 从而原式= 8．用适当的坐标计算下列积分： （1），其中是由直线，，，（）所围成的闭区域； 解：作图知由直角坐标表达方便， （2）， 其中是由圆周所围成的闭区域； 解：由表达式由极坐标表达方便，， 原式= （3），D：； 解：先作坐标轴平移，再用极坐标 原式= （4），D：． 解：用广义极坐标 原式= 作业11 三重积分的概念与计算 1．试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为： （1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域 ； （2）由曲面及所围的闭区域 ． 2．计算下列三重积分： （1），其中为平面，所围成的四面体； 解：分析边界作图知为， 原式= （2），其中是由曲面与平面所围的闭区域； 解：分析边界作图知为， 原式= （3），其中是由平面及抛物柱面所围的闭区域． 解：分析边界作图知为， 原式= 3．利用柱面坐标计算下列三重积分： （1），其中是曲面和平面所围成的闭区域； 解：原式 （2），其中是曲面及所围成的闭区域； 解：原式 （3），其中是曲面和平面所围成的闭区域； 解：原式 （4），其中是曲面和平面所围成的闭区域． 解：先作坐标轴平移，再用柱坐标 原式 = 4．利用球面坐标计算下列三重积分： （1），其中是球面所围成的闭区域； 解： 原式 （2），其中是由不等式（），所确定的闭区域； 解： 原式 （3），其中是不等式， 所确定的闭区域． 解： 原式 5. 选取适当的坐标计算下列三重积分： （1），其中是柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域； 解：用柱坐标 原式= （2），其中是球面所围的闭区域； 解：用球坐标 原式 （3），其中是由曲面及平面所围的闭区域； 解：用柱坐标 原式= （4），其中是球面所围的在第一卦限内的闭区域； 解：用球坐标 原式 （5），其中是椭球面所围成的闭区域． 解：用广义球坐标 原式 作业12 重积分的应用 1．球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成正比，求这球体的质量． 解：设球面的方程为，球的密度为 则球体的质量为 2．求球体的质心，这里假设球体内各点处