高数知识点总结[].docVIP

专接本高数知识点总结（上册） ——北雁友情提供 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b||a|+|b| (2)|a-b||a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)||= 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数存在，且是单值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在正整数N，使得对于nN的一切，不等式都成立，则称数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记做，或（） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列收敛，则数列一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义（略见书37页）。 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果，而且A0(或A0),则必存在的某一邻域，当x在该邻域内（点可除外），有（或）。 （2）如果，且在的某一邻域内（），恒有（或），则（）。 （3）如果存在，则极限值是唯一的 （4）如果存在，则在在点的某一邻域内（）是有界的。 无穷小与无穷大： 注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小的唯一的常数，因为如果则对任给的，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系： （1）如果函数为无穷大，则为无穷小 （2）如果函数为无穷小，且，则为无穷大 具有极限的函数与无穷小的关系： （1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和 （2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： （1）有限个无穷小的代数和也是无穷小 （2）有界函数与无穷小a的乘积是无穷小 推论： （1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数、的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函数、乘积的极限等于它们的极限的乘积 极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理） 设函数、、在的某个邻域内（点可除外）满足条件： （1） （2）， 则 准则二 单调有界数列必有极限 定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 重要极限： （1） （2） （3）或 无穷小阶的定义： 设为同一过程的两个无穷小。 （1）如果，则称是比高阶的无穷小，记做 （2）如果，则称是比低阶的无穷小 （3）如果，则称与是同阶无穷小 （4）如果，则称与是等阶无穷小，记做 几种等价无穷小： 对数函数中常用的等价无穷小： 时， 三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小： 时， 指数函数中常用的等价无穷小： 时， 二项式中常用的等价无穷小： 时， 函数在某一点处连续的条件： 由连续定义可知，函数在点处连续必须同时满足下列三个条件： （1）在点处有定义 （2）当时，的极限存在 （3）极限值等于函数在点处的函数值 极限与连续的关系： 如果函数在点处连续，由连续定义可知，当时，的极限一定存在，反之，则不一定成立 函数的间断点： 分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数、在点处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点也连续 反函数的连续性： 定理：如果函数在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数 最大值与最小值定理： 定理：设函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上必有最大值和最小值 推论：如果函数在闭区间上连续，则在上有界 介值定理： 定理：设函数在闭区间上连续，两端点处的函数值分别为，而是介于A与B之间的任一值，则在开区间内至少有一点，使得 推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值 推论（2）：设函数在闭区间上连续，且(两端点的函数值异号)，则在的内部，至少存在一点，使 导数与微分 导数： 定义： 导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率 函数可导性与连续性之间的表示： 如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续 一个数在某一点连续，它却不一