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第七章 向量代数与空间解析几何 一 、考纲要求（数学二、三、四不要求）： 1. *1理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．? 2. *1掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件. 3. *1理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.? 4. *1掌握平面方程和直线方程及其求法．? 5. *1会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题．? 6. *1会求点到直线以及点到平面的距离．? 7. *1了解曲面方程和空间曲线方程的概念．? 8. *1了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程．?? 9. *1了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程． 10. *1解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 二 、考点概述与解读： （一）向量代数 1、几个概念： （1）向量（矢量）：既有大小，又有方向的量。 注1：两向量不能比较大小（长度能比较，方向不行） 注2：向量的表示法有三： 有向线段； 基本表示：，其中为与轴同向的单位向量，为在轴上的投影。 坐标表示： （2）向量的模（长度）：的大小，即 （3）单位向量：长度为的向量 结论： 特例：基本单位向量：，， （4）零向量：长度为的向量 （注：没有确定的方向） （5）向量的相等：方向相同，大小相等 结论：设，，则 ，， （6）向量的平行：方向相同或相反 结论：对应分量成比例 （7）向量的垂直：方向垂直 结论： （8）向量的方向余弦：向量与轴，轴，轴的夹角的余弦。 结论：，，； （9）方向数：与方向余弦比例的三个数 2、向量的运算 （1）加法：平行四边形法则 结论： （2）数乘：大小： 方向：当时，与同向；当时，与反向； 当时，与方向任意 （3）数量积（点积）： 结论： （4）向量积（叉积）： 结论：的方向：右手法则；的大小： 注：（） （5）混合积： 结论：；共面 以为邻边的六面体的体积 注：运算规律与数类似（叉乘积例外）；混合积的性质：轮换 （二）空间解析几何： 1、空间直角坐标系（右手法则） 2、两点间距离公式： 3、平面方程： （1）向量式：，其中为的法矢，为平面上的已知点矢。 （2）点法式：， 其中， （3）截距式：，其中为在轴上的截距 （4）一般式： 注：此平面的法向量为； 点()到此平面的距离为： 4、直线方程： （1）一般式： （2）向量式： （3）标准式（对称式）： 其中为的方向向量， （4）两点式： （5）参数式：（其中为参数，为法矢，） 5、直线平面向量关系： （1）平面与平面：； （2）直线与直线：； （3）直线与平面：； （4）夹角的问题：（平面与平面，直线与直线，平面与直线的夹角） 6、常见的二次曲面的图形 —— 要掌握截痕法 （1） —— 以为球心，为半径的球面 （2） —— 椭球面； （3） —— 圆柱面 （4） —— 椭圆柱面； （5） —— 双曲柱面 （6） —— 抛物柱面 （注：当曲面方程中缺一个时，为柱面） （7）——椭圆抛物面(开口向上)；——椭圆抛物面(开口向下) （8） ——双曲抛物面，（马鞍面） 7、旋转曲面： 结论：曲线绕轴旋转成的曲面为 特例：（1）旋转椭圆面：（由绕轴旋转得到） （2）旋转双曲面：（由绕轴旋转得到） （3）旋转抛物面：（由绕轴旋转得到） 8、空间曲面的切平面与法线： 结论：在点的切平面方程为 在点的法线方程为： 9、空间曲线及其投影曲线： （1）空间曲线的一般方程： （2）空间曲线的参数方程：（其中为参数） 注：一般式化参数方程的方法：令，代入，解出 结论：该曲线的切线的方向为： （3）空间曲线在坐标平面上的投影曲线的求法： 由 消去得：（称为曲线的投影柱面）； 曲线 即为所求曲线在平面上的投影曲线。 10、空间曲线的切线和法平面： 结论： 曲线 在其上点 处的切线方程为： 曲线 在其上点 处的法平面方程为： （ 其中： ） 三 、实用题型及例题归类： 一、填空题 [95-1、2] 设 , 则 = 4 [01-1 ] 点（2,1,0）到平面3x + 4y + 5z = 0的距离d =. [96-1、2]设一平面经过原点及点(6,-3,2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则 此平面方程为 2x +2y–3z = 0 ． [94-1、2] 曲面z-ez+2xy =