高数第章补充题解答.docVIP

§7—1 在轴上求一点，使其到 点和等距离． 解：因为所求的点在轴上， 所以设该点为 依题意有, 即 ． 两边去根号，得 ， 即 ． 有 ． 解得 ． 故所求的点为． 已知两点和, 计算向量的模，方向余弦和 方向角以及与向量方向相反 的单位向量． 解： ． ； 方向余弦：， ，． 方向角：，， ． 与向量方向相反的 单位向量是 ． §7—2 向量垂直于向量 和， 并且满足条件 ， 求向量的坐标． 解： 已知向量垂直于向量 和， 则 ． 所以向量 ． 又因为， 所以 ， ， 解得 ． 故所求向量为 ． 证明 ， 并说明此恒等式的几何意义． 证明： ． 此恒等式的几何意义： 以和为邻边的平行四边形 面积的两倍等于此平行四边形 的两条对角线和 为邻边的平行四边形面积． §7—3 求与坐标原点及点的 距离之比为 的点的全体 所组成的曲面的方程，它表示 怎样的曲面？， 根据题意，有 ， 得 ， 等式两边平方，然后化简得 ， 这就是所求的曲面方程． 通过配方，曲面方程可化为 ， 这表示球心在点 ， 半径为的球面． 将坐标面上的抛物线 绕x轴旋转一周( 求 所生成的旋转曲面的方程． 解：将方程中的z换成， 得所求的旋转曲面的方程为 ． 3．画出下列方程所表示的曲面， 并写出它们的名称： (1) ； 解：原方程可化为 ， 表示旋转椭球面． (2) ； 解：原方程可化为 表示圆锥面． (3) ； 解：表示椭圆抛物面． (4) ． 解：原方程可化为 ， 表示抛物柱面． §7—4 1．画出下列曲线在第一卦限 内的图形： (1) ； (2) ； (3) ． 求椭圆抛物面和 平面的截线在三个 坐标面上的投影曲线方程． 解：设椭圆抛物面和平面的交线为 上列方程消去变量后, 得交线C关于面的投影柱面方程 ， 即 ． 所求的交线C在面上 的投影曲线方程为 方程（1）消去变量后, 得交线C关于面的投影柱面方程 ． 所求的交线C在面上 的投影曲线方程为 方程（1）消去变量后, 得交线C关于面的投影柱面方程 即 ． 所求的交线C在面上 的投影曲线方程为 §7—5 求通过点且与平面 平行的平面方程． 解：所求平面方程为 ， 化简得 ． 求平面 与各坐标面的夹角余弦． 解：已知平面的法线向量为 面的法线向量为 则已知平面与面的夹角余弦为 面的法线向量为 则已知平面与面的夹角余弦为 面的法线向量为 则已知平面与面的夹角余弦为 §7—6 求过点且平行于直线 的直线方程． 解：所求直线的方程为 ， 或 ． 求过点且与两平面 和平行的 直线方程． 解：因为两平面的法线向量 与不平行( 所以两平面相交于一直线( 此直线的方向向量可作为 所求直线的方向向量，即 ． 因此所求的直线方程为 ． 方法二：设所求直线的 方向向量为 ． 因为 ，， 又因为 ，，所以 得 ，， 则直线的方向向量为 ，． 又 ， 因此所求的直线方程为 ． 高等数学A2补充题 班级 学号 姓名 1