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习题9(3 1( 化三重积分为三次积分( 其中积分区域(分别是( (1)由双曲抛物面xy(z及平面x(y(1(0( z(0所围成的闭区域( 解 积分区域可表示为 (({(x( y( z)| 0(z(xy( 0(y(1(x( 0(x(1}( 于是 ( (2)由曲面z(x2(y2及平面z(1所围成的闭区域( 解 积分区域可表示为 ( 于是 ( (3)由曲面z(x2(2y2及z(2(x2所围成的闭区域( 解 曲积分区域可表示为 ( 于是 ( 提示( 曲面z(x2(2y2与z(2(x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1( (4)由曲面cz(xy(c(0)( ( z(0所围成的在第一卦限内的闭区域( 解 曲积分区域可表示为 ( 于是 ( 提示( 区域(的上边界曲面为曲面cz(xy ( 下边界曲面为平面z(0( 2( 设有一物体( 占有空间闭区域(({(x( y( z)|0(x(1( 0(y(1( 0(z(1}( 在点(x( y( z)处的密度为((x( y( z)(x(y(z( 计算该物体的质量( 解 ( 3( 如果三重积分的被积函数f(x( y( z)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积( 即f(x( y( z)( f1(x)(f2(y)(f3(z)( 积分区域(({(x( y( z)|a(x(b( c(y(d( l(z(m}( 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积( 即 ( 证明 ( 4( 计算( 其中(是由曲面z(xy( 与平面y(x( x(1和z(0所围成的闭区域( 解 积分区域可表示为 (({(x( y( z)| 0(z(xy( 0(y(x( 0(x(1}( 于是 ( 5( 计算( 其中(为平面x(0( y(0( z(0( x(y(z(1所围成的四面体( 解 积分区域可表示为 (({(x( y( z)| 0(z(1(x(y( 0(y(1(x( 0(x(1}( 于是 ( 提示( ( 6( 计算( 其中(为球面x2(y2(z2(1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域( 解 积分区域可表示为 于是 ( 7( 计算( 其中(是由平面z(0( z(y( y(1以及抛物柱面y(x2所围成的闭区域( 解 积分区域可表示为 (({(x( y( z)| 0(z(y( x2(y(1( (1(x(1}( 于是 ( 8( 计算( 其中(是由锥面与平面z(h(R(0( h(0)所围成的闭区域( 解 当0(z(h时( 过(0( 0( z)作平行于xOy面的平面( 截得立体(的截面为圆Dz( ( 故Dz的半径为( 面积为( 于是 (( 9( 利用柱面坐标计算下列三重积分( (1)( 其中(是由曲面及z(x2(y2所围成的闭区域( 解 在柱面坐标下积分区域(可表示为 0(((2(( 0(((1( ( 于是 ( (2)( 其中(是由曲面x2(y2(2z及平面z(2所围成的闭区域( 解 在柱面坐标下积分区域(可表示为 0(((2(( 0(((2( ( 于是 ( 10( 利用球面坐标计算下列三重积分( (1)( 其中(是由球面x2(y2(z2(1所围成的闭区域( 解 在球面坐标下积分区域(可表示为 0(((2(( 0((((( 0(r(1( 于是 ( (2)( 其中闭区域(由不等式x2(y2((z(a)2(a2( x2(y2(z2 所确定( 解 在球面坐标下积分区域(可表示为 ( 于是 ( 11( 选用适当的坐标计算下列三重积分( (1)( 其中(为柱面x2(y2(1及平面z(1(