高等数学 A 自测自检题解答提示 第 章 空间解析几何与向量代数.docVIP

第8章 空间解析几何与向量代数 第一部分:必做题 一、选择填空题 1．已知，，且，则 ． 提示：．由，，且知道， ，因此． 2．设直线与平面平行，则 ． 提示：直线的方向向量为，平面的法线向量为，由数量积，即解得 ． 3．通过原点且垂直于直线的平面方程为 ． 提示：所求平面的法线向量可取为，因此所求平面方程为． 4．平面与平面的位置关系是( )． (A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合 提示：由于两个平面的法线向量分别为和 ，不互相平行也不互相垂直，因此是相交但不垂直． 5．设平面方程为，且，则平面( )． （A）平行于轴 （B）平行于轴 （C）经过轴 （D）垂直于轴 提示：由于缺少变量，因此平面平行于轴，又由于，所以平面不经过原点，选 (B)． 6．设直线方程为，且，则直线( )． （A）过原点 （B）平行于轴 （C）垂直于轴 （D）平行于轴 提示：所给直线当然位于平面内．而平面垂直于轴，因此所给直线垂直于轴，选(C)． 7．空间直线 与平面的相互位置关系是（ ） （A）互相平行但不相交 （B）互相垂直 （C）不平行也不垂直 （D）直线在平面内 提示：由于直线的方向向量与平面法线向量相等，因此直线垂直于平面．选(B)． 8．母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是( )． (A) (B) (C) (D) 提示：曲线也是柱面的准线．从中消去变量，即得柱面方程（也是柱面在坐标平面上的准线）．选(B)． 9．将曲线绕轴旋转一周，所得的曲面为（ ） （A）圆锥面 （B）旋转抛物面 （C）椭球面 （D）抛物柱面 提示：曲线是坐标平面上的一条抛物线：顶点在原点、开口向上、对称轴为轴．因此绕轴旋转一周，所得的曲面为旋转抛物面．选(B)． 10．在空间直角坐标系中，是（ ） （A）圆 （B）球 （C）一点 （D）圆柱面 提示：在坐标平面上表示一圆周，在空间直角坐标系中，表示母线平行于轴的圆柱面（因为方程中缺少变量）．选(D)． 二、解答题 1．已知向量互相垂直，且，计算：（1） ；（2）． 提示：（1）. （2） . 2．求通过点而与直线垂直的平面方程． 提示：由题意，所求平面的法线向量可取作与直线的方向向量平行的任何向量（当然越简单越好）．而 ，因此取，所求平面方程为，即． 3．求下列直线的方程 （1）过点且垂直于平面； （2）过点且平行于直线； （3）过点和点． 提示：如果设所求直线的方向向量为，则 （1）可取，所以所求直线方程为． （2）可取，所以所求直线方程为． （3）可取，所以所求直线方程为． 4．由已知两个球面与，求： （1）它们的公共部分所围成的立体在面和面上的投影； （2）它们所表示的曲线在面和面上的投影． 提示：（1）由与消去得两球面的交线所在平面方程，用去割球面得，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，因此，两个球面公共部分所围成的立体在面上的投影是圆盘． 它们的公共部分所围成的立体在面上的投影也可看作是柱面和在面上的公共部分，即． （2）它们所表示的曲线在面上的投影即为面上的圆周．在面上的投影是一条线段，在面上的方程为，其中． 高等数学A 自测自检题 第8章 3页 共3页