高等数学 微积分A期末试卷A卷解答(北京理工大学).docVIP

2006-2007学年《微积分A》第二学期期末考试 参考答案及评分标准 2007年7月10日 一、1 , 平面的法向量为：， ………..3分 由题意，有： 解得： ………….6分 2 ..……… 3分 ………….6分 3 曲面的法向量：， ...…...2分 ……………4分 …..……6分 4 …………… .3分 ……………...6分 考虑正项级数，因为 ，……... 2分 而发散，由正项级数的比较判别法知，级数发散。 …………..3分 又原级数为交错级数，记 ， 易见，，由莱布尼茨判敛法知，原级数收敛，从而原级数条件收敛。 …………….6分 二、1 ，解得驻点： ……..2分 在驻点处有： …………4分 在驻点处有： ……….…..7分 2 解:在面上的投影区域为 ……….….2分 .……....4分 ……....5分 ……………..7分 3 添加辅助线： 则构成封闭曲线。由Green公式，得 …………….. 4分 ……………....7分 4 ………………..2分 …………………4分 ..7分 三、对求导，得，在点 处，， 曲线 在点 处的切向量为， ……..3分 ...6分 ，结论得证。 ……..8分 四、，, ……….1分 …………2分 ; 所以幂级数的收敛域为： ……………4分 设 ….6分 …………..8分 五、补充平面取下侧，则由Gauss公式 ……..4分 ……………6分 …………..8分 六、 ….………...3分 由对称性，有，设密度则 …………..5分 ， …………..7分 而 ………..9分 所以质心坐标为： ………….10分 七、(1) ..3分 ……………4分 (2因为及连续函数的定义和极限的保号性知：存在零点的某个右邻域，使得，当足够大时，原级数为正项级数，又原级数 且有： ………..……6分 由正项级数的比较判敛法知： 当 结论得证。 …………8分 1