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高等数学(下)期中试卷 一. 填空(): 1. 与a = 3i–j–2k, b = i+2j–k同时垂直的单位向量为___________. 2. 函数u=xy2z在 (1, –1,1) 点最大方向导数为___________. 3. 设a为常数, 且dz = (3x+y2 )dx + axydy, 则a=_________. 4. 改变积分顺序为_______________. 5. 直线与平面上x+y+z =3的位置关系为________. 6. 积分的值为________. 7. 设区域D为x2+y22y, 则=____________. 8. 设D是由直线y=2, y=x及y=2x所围区域, 则= __________. 9. 设u=f(z), z=x+y(z),且1–y(z),则=_____________. 10. 设为,则_________. 二. 完成下列各题(): 求点P0(1,1,1)到直线的距离. 设f有二阶连续偏导数,z= f(x2y , x+y), 求. 求曲线在点(1, –2, 1)处的切线与法平面方程. 4. 设x2+2y2+ 3z2 + xy –z =9, 求zx(1, –2,1), zxx(1, –2,1). 计算均匀立体(=1)x2+y2z1对z轴的转动惯量. 6. 计算,其中为, z. 7. 设F(u, v)有连续偏导数, F(x+) = 0, 证明x+y=z–xy . 三 (). 求圆柱面x2+y2=2x介于抛物柱面z2=2x间的面积. 四(1). 在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体体积为最小, 并求此最小体积. 五 (1). 设区域D为x2+y24, 计算 一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1．[ ] (A), (B), (C), (D). 2．设D: (x ( 2)2 + (y ( 1)2 ( 1, 比较与 的大小,则应有[ ]. (A) I1 = I2 , (B) I1 I2 , (C) I1 I2 , (D) I1 ( I2 . 3．函数在(0, 0)点处[ ]. (A)连续, (B)无极限, (C)极限值为1, (D)极限值为 (1. 4．设有直线与, 则L1与L2的夹角为[ ]. (A) , (B) , (C) , (D) . 5．设z = f (x, y)在P0(x0, y0)处可微分, 则下面结论错误的是[ ]. (A) z = f (x, y)在P0(x0, y0)处连续, (B) fx (x0, y0), fy (x0, y0)存在, (C) fx (x, y), fy (x, y)在P0(x0, y0)处连续,, (D) z = f (x, y)在P0(x0, y0)处沿任一方向的方向导数都存在. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1. 设函数在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且fx (0, 0) = 3, fy (0, 0) = (1, 则曲线在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为 . 2. 曲面包含在圆柱面x2 + y2 = 2x内部的那部分面积A = . 3. 设, , ,且满足, 则 . 4. 交换二次积分的积分次序得 . 5. 通过曲线 作一柱面( , 使其母线垂直于xOy面, 则( 的方程为 . 三、计算下列各题 （本题共6小题，每小题6分，共计36分） 1. 已知四面体的顶点A(2, 3, 1), B(4, 1, (2), C(6, 3, 7), D((5, (4, 8), 求从D点引高线的长度. 2. 求过点P((1, 0, 4), 平行于平面(: 3x – 4y + z – 10 = 0, 有与直线L: 相交的直线方程. 3. 设，其中具有二阶连续偏导数，求. 4. 设dz及. 5. 计算二重积分，其中D 点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)(0，1), D: x2 + y2 ( 4. 四、 (8分) 在曲面上找一点，使它到点的距离为最短，并求出最短距离. 五、(8分)计算三重积分, (