高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准.docVIP

08-09-3高数A期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8 一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 曲面在点处的法线方程是； 2. 设，则梯度； 3. 设幂级数的收敛半径是，则幂级数的收敛区间是； 4. 设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是； 5. 设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是； 6. 将函数在上展开为余弦级数，其和函数在点 处的函数值； 7. 设为圆周，取逆时针方向，则积分的值是； 8. 留数； 9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散. 二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分) 10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有 连续导数，计算. 解 ， 11．（本小题满分7分）判别级数的敛散性，并说明理由． 解 ，由比值法得知级数收敛。 12．（本小题满分8分）判别级数是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由. 解 显然，记，令，得，当 时，单调递减，由判别法得知级数收敛， 且，而级数发散，由比较判别法得知级数发散，故条件收敛。13. （本小题满分8分） 将函数展开为以为周期的级数. 解 ， ，） ，于是由收敛定理得： 三（14）．（本题满分7分）求幂级数的收敛域与和函数. 解 收敛域为，令，则 四（15）。（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数. 解 五（16）. （本题满分7分）计算 ，其中为曲线 ，方向沿增大的方向. 解 记，由公式得 六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧. 解 补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得 七（18）（本题满分6分）设，若存在常数，使得 ，则收敛. 证 由于，故正数列单调递减且有下界，数列收敛，从而得正项级数的部分和收敛，即 收敛，再由比较判别法得收敛. 或证 由，得正项级数的部分和 有上界，即得收敛，再由比较判别法得收敛. 共 4 页 第 1 页