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高等数学竞赛模拟试题（六）参考答案 一.填空题（每小题4分，共40分） 1．函数的Maclaurin展开式中的系数，收敛域为。2．。 3．设则。 4．设直线在平面上的投影为直线，则点到直线的距离等于。 5．设。 6．设，当时，。 7．当时，在右半平面上的向量函数为二元函数＝的梯度。 8．＝。 9．＝。 10．设则＝。 二、（每小题7分，共28分） 1．求由曲面围成的立体的体积，其中，。 解：立体只在第一、三、六、八等四个卦限存在，且曲面与坐标轴只交于原点。由对称性知体积（为第一卦限部分立体的体积）， ， ， 2．计算曲面积分其中是曲面 在柱面之内部分的上侧。 解：， 3．设曲线由立方体的表面与平面相截而成，从轴正向向原点看去为逆时针方向，计算。 解：原式 4．设在上连续，且 ，证明：存在使。 证：用反证法。假设对，都有，则 ，矛盾。 三．（7分）设正项数列单调增加，证明级数收敛的充分必要条件是级数收敛。 证：若收敛，而，所以收敛； 若收敛，而， 因此都收敛，由于正项级数 收敛，故收敛。 四．（7分）将均匀的旋转抛物体：放在水平的桌面上，当形体处于稳定平衡时，求它的轴线与桌面的夹角（指锐角）。（提示：当重心最低时形体处于稳定平衡。） 解：先求质心坐标，，， 平衡时，桌面所在平面应与抛物面相切，质心与切点的连线应垂直于桌面，由对称性不妨设在点处相切。由于，点处的法向量为，因为 ，即，，设轴线与桌面的夹角为，则 ， 五．（9分）设在上连续，，已知对任意的都有 ，证明对一切与有 证：考虑累次积分 六．（9分）证明：，其中为正整数。 证： ，令，得 ，， 又 ， 即，又 ，即， 所以