高等流体力学第讲.docVIP

第二讲 流体运动微分方程 一、应力张量 作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即 （2-1） 式中　n为表面积ΔA的外法线方向；ΔP为作用在表面积ΔA上的表面力。pn除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。因此，有 需要特别指出，应力pn表示的是作用在以n为外法线方向的作用面上应力，其下标n并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；一般来说，应力pn的方向并不与作用面的外法线n一致，pn除了有n方向的分量pnn外，还有τ方向的分量pnτ。只有当pnτ=0时pn才与n的方向一致；图中ΔA右侧的流体通过ΔA作用在左侧流体上的力为ΔP=pnΔA，而ΔA左侧的流体通过ΔA作用在右侧流体上的力为ΔP=p－nΔA，这两个力互为作用力和反作用力，所以有 可得 pn=?p?n （2-2） 为了研究一点处微元面积上的表面力，先在流体中以M为顶点取一个微四面体，如图2-2所示。设MA=Δx，MB=Δy，MC=Δz，ΔABC的法向单位矢量为n，则 或简写为 （2-3） 设ΔABC的面积为ΔS，于是ΔMBC、ΔMCA、ΔMAB的面积可分别以ΔSx、ΔSy、ΔSz表示为 （2-4） 四面体的体积可表示为 式中h为M点到ΔABC的距离。根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为 当四面体趋近于M点时，h为一阶小量，ΔS为二阶小量，ΔV为三阶小量，略去高阶小量后可得 再考虑式（2-2）和（2-4）可得 （2-5） 上式在直角坐标系中的投影可表示为 （2-6） 上式也可以用矩阵形式表示为 （2-7） 也可以表示为 式中 P= （2-8） 称为应力张量。 这里需要着重指出的是：应力张量各分量的两个下标中，第一个下标表示的是该应力作用面的法线方向；第二个下标表示的是该应力的投影方向，例如pxy表示它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力px在y轴上的投影分量。应力张量P描述的是某一点处的应力状态，过该点的任意一个曲面上的应力pn均可由式（2-7）确定。与矢量相似，张量也是客观的，正如矢量确定以后，它的大小和方向不会随着坐标系的改变而改变，所改变的只是在不同坐标系下其分量的大小。 无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即pij=0（i≠j），此时有 P===?p= ?pI 式中I为单位张量，p为流体静压力。 流体力学中，常将应力张量表示为 （2-9） 式中p为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T称为偏应力张量，即 T= （）ii = pij? p；当i≠j时pij为粘性剪切应力，ij =pij。ii=0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，ii≠0的流体称为粘弹性流体。 二、应变张量 与刚体相比，连续介质运动过程中还有可能发生变形，因此连续介质的运动比刚体的运动要复杂得多。在这里，首先回顾一下刚体运动速度分解定理。刚体的运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，即 其中u0为刚体质心的平动速度；u为刚体内部任意一点处的运动速度；ω为刚体绕质心的旋转角速度；dr为质心至某点的微元矢量。 在t时刻的连续介质中取出包括点M0（x，y，z）的任意微元体积，同时取微元体积内的另一点M（x+dx，y+dy，z+dz），如图2-3所示。假设点M0的速度为u（x，y，z），当dr=（dx，dy，dz）为小量时，M点的速度可用M0的速度的泰勒展开式来表示，即 　　　　　　　　 （2-11） 或分量形式 　 显然，du或(du，dv，dw)是M点相对于M0点的相对运动速度，它可以用矩阵的形式为 　 　　　 （2-12） 上式中的方形矩阵可分解为 　　　　　　　 = R＋D （2-13） 上式中第一个矩阵R是反对称的，第二个矩阵D是对称的，这两个矩阵在流体力学中也称为二阶张量，下面就来具体分析这两个张量的物理意义。 反对称矩阵R中的九个分量中只有三个独立分量，即 ，， （2-14） 这三个分量恰好就是流体微团旋转角速度矢量的三个分量，因此，将R称为旋转张量。同时ω=