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高等流体力学 重庆交通大学 陶礴 温馨提示： ⑴该课程是学位课，学习态度很重要。 ⑵该课程所涉及到的相关知识较多，例如：张量分析，场论，数学分析，线性代数，微分方程（包括常微分方程与偏微分方程）。 ③该课程理论性较强，学时为50学时。 第一章：预备知识 本章内容简介：这是学好流体力学的一些相关的数学知识，包括张量与场论的基础知识，对学习流体力学来说，是相当有必要的。 1.1 笛卡尔直角坐标系中的张量 1.1.1 张量的定义 凡是坐标旋转时能保持自身不变的量，叫做张量。例如：标量（关于标量，我们或许在一些情况下可以把它理解成一个常数。既然是常数，那么无论坐标怎么样旋转，它还是一个常数，其数值保持不变）。矢量（在现实生活中，我们接触过很多矢量，例如：力，速度，等等，当坐标旋转时，矢量在各个坐标轴上的分量会发生变化，但是，就矢量本身来说，它的大小不变，方向永远也只有一个，因此它不依赖于坐标的旋转而发生变化）。我们注意到，标量有一个分量，矢量有三个分量。定义：如果一个张量是n阶张量，那么，其分量个数为：3n个。那么，我们不难得出以下结论： 标量是零阶张量 矢量是1阶张量 二阶张量具有9个分量，三阶张量有27个分量，n阶张量具有3n个分量。 1.1.2 张量的表示方法 为二阶张量，有9个分量。通常用如下的式子来表示： == 在流体力学中，二阶张量用得相当广泛。此外，一阶张量可表示为: 三阶张量可表示为: 1.1.3 约定求和法则 为书写方便，我们约定在同一项中，如果有两个脚标相同时，就要对这个脚标从1到3求和。例如： ① ② ③ 1.1.4 单位张量 (1) 二阶单位张量 二阶单位张量又称为克罗内克符号：， = 于是，二阶单位张量有9个分量，可以表示成如下形式： = 故称之为二阶张量。 二阶单位张量有如下的运算性质： (2) 三阶单位张量（注意，三阶单位张量有27个分量） 三阶单位张量又称为里奇符号 里奇符号有以下性质： ①=0(当三个脚标至少有两个相等) ②(当三个脚标按顺序排列时) ③(当三个脚标按照逆序排列) 具体有： ===1 ===-1 ===…=0 ④=0 =6（大家如果有兴趣可以自己推导一下） 1.1.5 对称张量与反对称张量 (1)对称张量 设一个二阶张量=，各分量满足=，则称为对称张量。二阶对称张量其实可以理解成一个对称矩阵。因此，二阶对称张量可以表示为：= (2)反对称张量 设一个二阶张量=，各个分量满足=-，则称为反对称张量，二阶反对称张量可以理解成一个反对称矩阵。因此可以表示为： (3)非对称张量 设一个二阶张量=，各个分量满足，则称此张量为非对称张量。任意一个非对称张量可以分解为一个对称张量与一个反对称张量的和。即：=(+)+() 其中(+)为对称张量，()为反对称张量。 1.1.6二阶张量的运算法则 在这里，我们主要讨论一下二阶张量的运算法则，毕竟在流体力学中，二阶张量运用得相当普遍。 二阶张量相等 二阶张量可以一个33的矩阵，那么二阶张量相等就等价于两个矩阵相等。 二阶张量的加减法 二阶张量的加减法等同与两个矩阵的加减法。 二阶张量的外积 二阶张量的外积定义为：第一个张量的各个分量分别乘以第二个张量的各个分量。用矩阵表示如下： .=.=（总共34=81个分量） 二阶张量的内积 两个二阶张量的内积与两个33的矩阵相乘类似。 两个二阶张量的并矢 定义：=（注意前文中所提及到的约定求和符号，可以自己写出其具体表达式） 1.2笛卡尔坐标系下的场论 关于场论，大家在高等数学里面已经学习过，在这里就不在做过多的重复，把在流体力学中经常用到的场论的运算公式简要的复习一遍。 1.2.1标量场的梯度 设函数以为自变量，记为：= grad= 引入那勃勒算子（注意求和约定,其中= = = = = =）,则函数的梯度可以写成： （注意求和约定符号） 1.2.2在笛卡尔坐标系中向量场的散度 ，那么矢量的散度为： 1.2.3在笛卡尔坐标系中向量场的旋度 那么矢量的旋度可表示如下： 1.2.4在笛卡尔坐标系下常用的基本运算公式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃ 高斯公式： ⒄ 斯托克斯定理： 以上公式不要求大家记住，有兴趣的同学可以推导一下公式的证明过程，希望大家在以后遇见这些公式的时候能够有印象，不会因为这些公式的出现而导致看不明白。 2.1 空间曲线坐标系 2.1.1 空间曲线坐标的概念 (1) 曲线坐标 若空间任意点的直角坐标可表示成独立变量的单值可逆可微函数 则称有序数组为空间曲线坐标. (2) 坐标变换 空间直角坐标与曲线坐标间满足关系式