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高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、w、的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。 第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z 第二象限角：2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z 第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z 第四象限角：2kπ+ ＜α＜2kπ+2π,k∈Z (4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k·360°+α，k∈Z。 (5)特殊角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝，k∈Z｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ+，k∈Z｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝ 终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝ 2.弧度制： (1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： 1°＝弧度，1弧度＝()° (3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。 弧长公式：l=｜α｜R 扇形面积公式：S=lR=｜α｜R2 3.周期函数： (1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正 数叫做这个函数的最小正周期。 (2)几个常见结论： ①如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也是y=f(x)的周期。 (1) ②如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么也是y=f(wx)(w≠0)的周期。 ③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。 4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sinα=,cosα=,tgα=,ctgα=,Secα=,cscα= (如图(1))。 (2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2)) (3)同角三角函数的基本关系式： 倒数关系：sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1 商数关系：tgα=,ctgα= 平方关系：sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α (4)诱导公式： α 2kπ+α -α π-α π+α 2π-α -α +α 正弦 sinα -sinα sinα -sinα -sinα cosα cosα 余弦 cosα cosα -cosα -cosα cosα sinα -sinα 正切 tgα -tgα -tgα tgα -tgα ctgα -ctgα 余切 ctgα -ctgα -ctgα ctgα -ctgα tgα -tgα 上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。 5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线： 如图(3)，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS (2)三角函数的图像和性质： 函数 y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx 图象 定义域 R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1 x=2kπ- 时ymi