高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第篇 第讲 正弦定理和余弦定理.docVIP

第6讲　正弦定理和余弦定理 [考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理和余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(R为ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)ab∶c＝sin Asin B∶sin C cos A＝；cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为ABC内切圆半径)． 1．三角形中关系的判断 (1)在ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.( ) (2)(教材练习改编)在ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A＝60°或120°.( ) 2．解三角形 (3)在ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝.( ) (4)(教材习题改编)在ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝，则b＝6.( ) 3．三角形形状的判断 (5)在ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形．( ) (6)在ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．( ) [感悟·提升] 1．一条规律　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B，如(1)． 2．判断三角形形状的两种途径　一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C. D. (2)(2014·杭州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝45°，则sin C＝______. 规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 【训练1】 (1)在ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝(　　)． A．30° B．45° C．45°或135° D．60° (2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝ (　　)． A．30° B．60° C．120° D．150°考点二　判断三角形的形状 【例2】 (2014·临沂一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝，试判断ABC的形状．规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 【训练2】 (1)(2013·山东省实验中学诊断)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则ABC是 (　　)． A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 (2)在ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则ABC的形状是 (　　)． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 考点三　与三角形面积有关的问题 【例3】 (2013·新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求ABC面积的最大值．规律方法 在解决三角形问题中，面积公式