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高考题汇集-- 正弦定理和余弦定理 题组一 正、余弦定理的简单应用 1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝(　　) A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－ 解析：如图所示． 在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ＝＝4， ∴b＝2. 答案：A 2．(2009·湖南高考)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________． 解析：由正弦定理得＝. 即＝.∴＝2. ∵△ABC是锐角三角形， ∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜， 解得＜A＜. 由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)． 答案：2　(，) 3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b. 解：由余弦定理得 a2－c2＝b2－2bccosA. 又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.① 又sinAcosC＝3cosAsinC， sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC， sin(A＋C)＝4cosAsinC， sinB＝4sinCcosA. 由正弦定理得sinB＝sinC， 故b＝4ccosA.② 由①、②解得b＝4. 题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 4.在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 解析：sin2＝＝， ∴cosA＝＝a2＋b2＝c2，符合勾股定理． 答案：B 5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC， 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形． 法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC可化为 2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0， 即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形． 答案：B 题组三 三角形面积公式的应用 6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C.或 D.或 解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝， ∴C＝或，A＝或，∴S＝或. 答案：D 7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝(　　) A. B. C. D. 解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝. 答案：B 8．(2009·北京高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cosA＝，b＝. (1)求sinC的值； (2)求△ABC的面积． 解：(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝， cosA＝，所以C＝－A，sinA＝. 于是sinC＝sin(－A)＝cosA＋sinA＝. (2)由(1)知sinA＝，sinC＝. 又因为B＝，b＝， 所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝. 于是△ABC的面积S＝absinC ＝×××＝. 题组四 正、余弦定理的综合应用 9.在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　) A．60° B．75° C．90° D．115° 解析：不妨设a为最大边．由题意， ＝＝， 即＝， ∴＝， (3－)sinA＝(3＋)cosA， ∴tanA＝2＋，∴A＝75°. 答案：B 10．(2010·长沙模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，C＝60°，S△ABC＝8，则边长c＝______. 解析：S△ABC＝absinC＝×4×b×＝8，∴b＝8.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋82－2×4×8×＝48，∴c＝4. 答案：4 11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________. 解析：∵m⊥n，∴cosA－si