齐次坐标.docVIP

理解一 一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射变换中非常的方便”，然后就没有了后文，今天在一个叫做“三百年 重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对这样一句话进行了有力的证明：“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR。 由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来： 对于一个 向量 v 以及基 oabc ，可以找到一组坐标 (v1,v2,v3) ，使得 v = v1 a + v2 b + v3 c （ 1 ） 而对于一个 点 p ，则可以找到一组坐标（ p1,p2,p3 ），使得 p–o = p1 a + p2 b + p3 c （ 2 ）， 从上面对 向量 和 点 的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个 点 （如 p ），我们把点的位置看作是对这个基的原点 o 所进行的一个位移，即一个向量—— p – o （有的书中把这样的向量叫做位置向量 ——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点 p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3) (1)(3) 是坐标系下表达一个 向量 和点 的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达 (1, 4, 7) ，谁知道它是个向量还是个点！ 我们现在把（ 1 ）（ 3 ）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o) p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o), 这里 (a,b,c,o) 是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量 v 和点 p 在基下的坐标。 这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D 向量 的第 4 个代数分量是 0 ，而 3D 点 的第 4 个代数分量是 1 。像这种这种用 4 个代数分量表示 3D 几何概念的方式是一种齐次坐标表示。 这样，上面的 (1, 4, 7) 如果写成（ 1,4,7,0 ），它就是个向量；如果是 (1,4,7,1) ，它就是个点。 下面是如何在普通坐标 (Ordinary Coordinate) 和齐次坐标 (Homogeneous Coordinate) 之间进行转换： (1) 从普通坐标转换成齐次坐标时 如果 (x,y,z) 是个点，则变为 (x,y,z,1); 如果 (x,y,z) 是个向量，则变为 (x,y,z,0) (2)从齐次坐标转换成普通坐标时 如果是 (x,y,z,1) ，则知道它是个点，变成 (x,y,z); 如果是 (x,y,z,0) ，则知道它是个向量，仍然变成 (x,y,z) 理解二 问题: 两条平行线会相交 铁轨在无限远处相交于一点 在欧几里得几何空间里，两条平行线永远都不会相交。但是在投影空间中，如右图中的两条铁轨在地平线处却是会相交的，因为在无限远处它们看起来相交于一点。 在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描述2D/3D 几何物体是很理想的，但在投影空间里面却并不见得。 我们用 (x, y ) 表示笛卡尔空间中的一个 2D 点，而处于无限远处的点 (∞,∞) 在笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题（因为无限远处的点在笛卡尔空间里是没有意义的），因此数学家想出齐次坐标这个点子来了。 解决办法: 齐次坐标 由 August Ferdinand M?bius 提出的齐次坐标（Homogeneous coordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理，齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如，2D 齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w，变成(x, y, w)，其中笛卡尔坐标系中的大X，Y 与齐次坐标中的小x，y有如下对应关系： X = x/w Y = y/w 笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这点移动到无限远(∞,∞)处，在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ，这样我们就避免了用没意义的∞ 来描述无限远处的点。 为什么叫齐次坐标 前面提到，我们分别用齐次坐标中的 x 和 y 除以 w 就得到笛卡尔坐标中的 x 和 x，如图所示： 仔细观察下面的转换例子，可以发现些有趣的东西： 上图中，点 (1, 2, 3), (