00-03理科——函数与导数(已整理)探讨.docx

（2003天津理3） 设函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2003天津理5） 函数的反函数为（ ） A． B． C． D． （2003天津理7） 设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为（ ） A． B． C． D． （2003天津理11） （ ） A．3 B． C． D．6 （2003上海理16） 是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下 列关于函数的叙述正确的是（ ） A．若，则函数的图象关于原点对称 B．若，，则方程有大于2的实根 C．若，，则方程有两个实根 D．若，，则方程有三个实根 （2003上海理22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立， （1）函数 是否属于集合？说明理由； （2）设函数的图象与的图象有公共点，证明：； （3）若函数，求实数的取值范围。 22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= （2）因为函数f(x)=ax（a0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， 所以方程组：有解，消去y得ax=x, 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M. （3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M. 当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R， 于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立， 只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z . 当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立， 即sin(kx－k+π)= sinkx 成立， 则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z . 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z} （2003江苏理21）（本小题满分12分） 已知，为正整数， （Ⅰ）设，证明； （Ⅱ）设，对任意，证明。 （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为， 所以 （Ⅱ）对函数求导数: ∴ 即对任意 （2003全国卷理2）设，则（ ） A． B． C． D． （2003北京理19）（本小题满分14分） 有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ （Ⅱ）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由题设条件ab0,设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 = 所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是 （Ⅱ）解：记 P至三镇的最远距离为 由解得记 于是 当，即时， 因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时,函数取得最小值. 点P的坐标是 当，即时，因为在[上当y=0函数取得最小值b，而上是减函数,且 ，所以时, 函数取得最小值. 答：当时，点P的坐标是 当时，点P的坐标是，其中 （2003北京理20）（本小题满分14分） 设是定义在区间上的函数，且满足条件： ① ②对任意的、，都有 （Ⅰ）证明：对任意，都有 （Ⅱ）证明：对任意的都有 （Ⅲ）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得 ，若存在请举一例，若不存在，请说明理由． 20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：由题设条件可知， 当时，有即 （Ⅱ）对任意的， 当 当不妨设 则 从而有 总上可知，对任意的，都有 （Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下： 假设存在函数满足条件，则由 得 又，所以 ① 又因为为奇函数，所以， 由条件 得 所以 ② ① ②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在. （2003北京春季理16） 若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为