电解槽电位分布研究报告doc.docVIP

1．问题概述 如图是无限长接地导电槽的截面，除槽顶电位为正弦分布外，其余三个分界面电位均为0。应用有限差分方法计算接地槽内电位分布。根据计算结果画出相应路径电位的变化曲线。 2．基本思路 在静电场中，电位分布应满足拉普拉斯方程，用有限差分法，对x、y分别进行二阶中心差分，若划分网格选择节点单元时x、y方向步长相等，可得到网格任意点值可用周围四点平均值迭代。为加快迭代收敛速度，选用超松弛迭代法V（k+1）=V（k）+w*(V(l)-V(k))求解各点电位近似值。当两次迭代结果之差小于一定值时即可结束迭代。 3．程序编写 1.clear all 2.a=1; 3.b=1; 4.det=0.02; 5.w=1.55; 6.m=3000; 7.x=[0:det:a]; 8.y=[0:det:b]; 9.f=zeros(b/det+1,a/det+1); 10.f(1,:)=100*sin(pi/a*x); 11.g=f; 12.for k=1:m 13.??? for i=2:b/det 14.??????? for j=2:a/det 15.?????? ?????f(j,i)=f(j,i)+w*((f(j+1,i)+f(j-1,i)+f(j,i+1)+f(j,i-1))/4-f(j,i)); 16.??????? end 17.??? end 18.??? if max(max(abs(f-g)))1e-5 19.?????? break; 20.??? end 21.??? g=f; 22.end 23.f=rot90(f,-1) 24.[x,y]=meshgrid(y,x); 25.s=k 26.surf(x,y,f) 该程序共有26行，其中2—6行是一些基本变量初值设定，a为电解槽宽度，b为电解槽高度，det为划分网格时所选取的步长，程序中把网格选定为正方形，故x、y方向步长相等。w为超松弛迭代因子，它的选取与迭代收敛速度有关。m为最大迭代次数，若迭代次数达到m次还未达到精度要求，程序将自动停止。 7—10行是为划分好的网格点赋点电位初值，并将数值保存在一个矩阵中，若算上边界上的点，每行（列）点的个数正好比网格数多1，故矩阵的行数与列数分别为b/det+1，a/det+1，用zeros函数创建满足此大小的0矩阵，即将空间电位初值设定为0。槽顶电位呈正弦趋势变化，我们将它的值赋在矩阵第一行中，7、8行对x、y进行步长扫描不仅作用于后面绘图时的坐标描点，也方便地将槽顶初值依次存入了矩阵第一行中。 如图为电位初值分布图，除槽顶外，电位均等于0。 考虑比较前后次迭代是否满足精度，需要设置一个相同大小的矩阵g，以存储第K次迭代后的电位值，每次与第K+1次迭代结果比较之后，若不满足精度要求，则将第K+1次迭代值赋给g。 以上初值的设定均可以根据需要自由修改，需要指出的是超松弛迭代因子w的选取，先在大网格划分，低精度要求的情况下，观察迭代次数的变化，第25行中s=k的作用为统计并显示迭代次数k，在将空间划分为10*10网格，精度要求为e-1时，我依次统计过如下几种情况的迭代次数变化： w=1.2，k=25 w=1.5，k=13 w=1.8，k=27 w=1.4，k=16 w=1.6，k=14 w=1.17，k=26 最终当w=1.55时，找到迭代次数最少情况k=12，随后将网格划小，提高精度要求同样取少量数值尝试，最佳值均在w=1.55左右，这与正方形网格划分理论最佳值w=1.17有较大偏差，具体原因还有待分析。程序中取w=1.55以减少高精度情况下的迭代次数。 从12行起，开始进入主程序，用for循环进行超松弛迭代。因边界条件已给定，矩阵首位行、列不参与迭代，数值固定。矩阵第j行，第i列数的新值f(j,i)=f(j,i)+w*((f(j+1,i)+f(j-1,i)+f(j,i+1)+f(j,i-1))/4-f(j,i))，逐列迭代。因此最内层循环应从第2行算至第b/det行，然后以此算法从第2列算至第a/det列。这样，用两个for循环就完成了一次迭代的过程，在这两层循环之外，应同步搭配上精度的检测程序。 对于精度的计算条件，方法是多样的。我采用两次迭代结果之差小于e-5为精度要求。由函数abs(f-g)即可知两次迭代结果之差的绝对值，若此矩阵中最大数也小于e-5，则可认为所有数均已达到精度要求。因max函数的功能是求取矩阵中某一向量的最大数值，所以需要使用两次max函数，第一次先取出矩阵中每一列最大值组成一行向量，第二次再在行向量中选出最大值，即为矩阵的最大值。因此，语句max(max(abs(f-g)))1e-5就完成了精度的检测。若不满足精度要求，把此次迭代值赋给g矩阵。 在这之后，还应有一层循环控制迭代次数，直至满足精度