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矢量算法与场论初步·张量 算法与黎曼几何初步 本章包括两个部分. 第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去. 第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的. §1 矢量算法 矢量代数 ［矢量概念］ 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量. 具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量． 在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小，用端点的顺序AB表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作，或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号或|a|表示. 矢量按其效能可分成三种基本类型： 具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度. 在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于1的矢量称为单位矢量. 模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作-a. 始点与原点O重合而终点位于一点M的矢 量(图8.1)称为点M的矢径(或向径)，记作 r，原点称为极点.如果M的直角坐标为x，y，z , 则有 r＝＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk 式中i，j，k分别为x轴，y轴，z轴的正向单位 矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量). ［矢量的基本公式］ 名 称 公 式 图 形 矢量a的坐标表示 坐标单位矢量i，j，k 的坐标表示 零矢量的坐标表示 a的长度(或模) a的方向余弦(,, 为a的方向角) 矢量(两端点 A， Ｂ的坐标分别为( ax,ay,az), (bx,by,bz) a＝axi＋ayj＋azk＝(ax, ay, az) i＝(１，０，０) j＝(０，１，０) k＝(０，０，１) 0＝(０，０，０)(0无方向) = a＝ ＝(bx－ax)i＋(by－ay)j ＋(bz－az)k ［加法］ 若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则 a＋b=( ax＋bx,ay＋by,az＋bz) 把矢量的始点移到原点O，以a，b为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a＋b(称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b(称为三角形法则，见图８.3). 加法运算适合如下规律： (交换律) (结合律) a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０ ［减法］ 若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，则 a－b＝(ax－bx，ay－by，az－bz) 把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b (图8.4). 对任意两个矢量a和b成立三角形不等式： |a＋b||a|＋|b| ［数乘］ 以实数乘矢量a称为数乘，记作a.当０时，a的模伸缩倍，方向保持不变；当０时，a的模伸缩||倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(ax,ay,az)则 a＝(ax, ay, az) 设，为两实数，a，b为两矢量，则数乘