矩阵幂级数.docVIP

§4. 矩阵的幂级数 在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。 一、矩阵级数 1.Df1.：若给定中的一方阵序列， 则和式 称为方阵级数，记为。其中为通项，m—求和变量。 称为（1）的前N项部分和序列（矩阵序列） 若，则称（1）收敛，且其和为S 说明：若记 表示的 第i行第j列位置上的元素，根据定义1 显然有，收敛个数项级数收敛。 Df2.若个数项级数绝对收敛，则称绝对收敛。 2.收敛方阵级数的性质： ①若方阵级数绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。 ②方阵级数收敛对任一方阵范数，正项级数。 二、矩阵幂级数 Df1.设，称为矩阵A的幂级数，其中为一复数序列，称为幂级数的部分和，若，称收敛于S，并称S为幂级数的和矩阵。 注：若令，则矩阵幂级数矩阵级数的形式。因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即： Th1.矩阵幂级数 其中，,分别表示和的第i行，第j列元素。 Th2.矩阵幂级数对任一范数，级数 Proof:若收敛，考虑的敛散性， 由矩阵范数的等价性，与等价，即 （由比较审敛法） 又 收敛，因此，绝对收敛。 若绝对收敛收敛 收敛。 由矩阵范数的等价性对任一矩阵范数，使，有 推论1.若绝对收敛（收敛） 其中P,Q为给定的n阶方阵，且有 Proof绝对收敛绝对收敛。 又 由比较审敛法，绝对收敛。 下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法： Th3.设复变数幂级数R，A的谱半径为， ①当时， ②当时， Proof：①若，（如取） 存在矩阵, ②若，设，其中x为单位向量 若收敛，则由推论1.知： 也收敛，但在收敛域之外而发散，矛盾， 故，发散。 应该注意：时，无法确定。 2.若，则对，在整个复平面上收敛。 eg1.的收敛半径，对,有且绝对收敛。 eg2.设绝对收敛。 Proof：的收敛半径。 即可。 ，有： 由Th3， eg3.若 证明： Proof: 即 两边取极限 左边＝ 右边＝ （由上节Th5. ,） 所以有，即 eg4.设 的敛散性 ② 试证明：绝对收敛。 解：①,设R。 ，故发散。 ②的收敛半径 故绝对收敛。 说明：象幂级数一样，有时还会遇到如的幂级数，对于它的敛散性，可用下列定理判别。 Th4.若R，对，其特征值为，若满足。 则绝对收敛；若有某一使，则发散。 20