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《线性控制系统》考试复习内容 2011-10-27给定考试范围2011-11-19日(周六)考试 1. 线性系统的状态空间描述 State Space Description 设系统动态方程为 传递函数(Transfer function)： 2. 能控性及判据Controllability and Criteria 能控性：在有限时间内从任意状态到达任意状态。 判别线性系统(完全)能控性的两个等价条件： (1) , (矩阵及秩) (2) (复域) 3. 能观性及判据 Observability 用可以观测到，但是通常是不可以测量的，所以用输入和输出观测或. 判别系统能观性的两个等价条件： (1) , (矩阵及秩) (2) (复域) 4. 标准形 Standard form, Canonical form 等价变换 能控标准形--单输入单输出(SISO)系统能控标准形: 可以将任意形式的能控系统化成上述能控标准形。 多输入多输出(MIMO)系统能控标准形： ， Kalman标准形： , . i) 是即能控又能观部分 both (complete) controllable and observable; ii) 是能控但不完全能观部分 controllable but unobservable; iii) 是不完全能控但能观部分 observable but uncontrollable; iv) 是即不能控也不能观部分 neither controllable nor observable. 标准形可以根据自己的需要构造。 7. 极点配置 Pole placement, Pole assignment 能控，的极点可以任意配置 能观，的极点可以任意配置 8. 反馈对能控、能观的影响 输出反馈不改变系统的能控能观性，即系统与系统有相同的能控能观性。 问题：在什么条件下是能控的？ (通过输出内射output injection--输出到状态导数的反馈--实现) 在什么条件下是能观的？ 定理 存在使能控的充要条件是 (1) (2) (1)与(2)同样是能观的充要条件。 9. 状态反馈解耦 Decoupling by state feedback ，与一般是耦合的 取反馈，则当时， ，设 ，如果具有对角结构，即 这时，每个输入只影响一个输出，这时称系统已解耦。 问题：是否存在使传函成为上述对角结构？ 存在的条件是什么？ 对于到采用同样方法 这时，我们得到 如果矩阵可逆，则取反馈，则 这种解耦方式称之为积分型解耦 Integral Type. 所以非奇异是存在积分型解耦的充要条件。 例4. (解耦) ， ，。 . 10. 动态补偿器 Dynamic Compensator 动态补偿器增加新的状态变量，使系统维数扩大。动态补偿器在串联(前向)或反馈通道上。 动态补偿器的状态空间表达式： 系统 ，动态补偿器 闭环系统的形式： 动态补偿器可以是全维(全阶full order)或降维(降阶reduced order)结构。如果要求可以任意配置极点，理论上补偿器的维数可以降低到阶，如果仅要求系统稳定，补偿器的维数可能可以降得更低。 例6： 设 一阶控制器： 可任意配置闭环系统极点。 二阶控制器： 也可任意配置闭环系统极点。 11. 状态观测器与利用状态观测器实现状态反馈控制 Observer and state feedback control based on observer 全维观测器 系统 ，状态观测器 或 (全维观测器) 定义状态误差，则。 所以只要求得使得是稳定矩阵(Hurwitz矩阵)，则误差，即跟踪。 利用观测器实现状态反馈控制 闭环系统： 利用观测器实现的状态反馈控制可以达到动态补偿器的控制目标。 分离定理：(大意) 矩阵相似于 矩阵或 故可以分开设计使闭环极点满足要求。 分离定理： 。 12. 稳定性与李雅普诺夫方法 Stability and Lyapunov Method 李雅普诺夫稳定性： 平衡状态的稳定性，稳定，渐近稳定，大范围渐近稳定，不稳定。 李雅普诺夫第一法：线性系统中，的所有特征值都具有负的实部，则系统平衡状态是渐近稳定的。(适用于线性系统和可线性化的系统) 李雅普诺夫第二法：取标量函数，()(正定)，但(负定)( )，则系统平衡状态是渐近稳定的。如果当，函数，则在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。(适用于线性与非线性系统) 复习：二次型的正定，对称矩阵的正定。 例5：设非线性系统的状态方程： 其平衡状态，试判定平衡状态的稳定性。