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离散时间模型 在控制理论中，我们需要考虑两种基本类型的信号：连续时间信号和离散时间信号。对于前者，自变量是连续可变的，因此该信号在自变量的连续值上都有定义；对于后者，它仅仅定义在离散时刻点上，比如股票指数就是离散时间信号的一个例子，再比如人口变化。离散信号同连续信号一样都是自然界存在的一类信号。有关连续与离散信号的详细内容，请参考《信号与系统》教材。 为了区分连续和离散信号，我们用 表示连续时间变量，而用 或 表示离散时间变量。值得注意的是，离散时间信号 仅仅在自变量的整数值上有定义。有时为了更加强调这一点，就干脆称 为离散时间序列。 考虑数字序列。这样的序列可以想象为由—连续波形（也就是具有连续时间变量的函数）在时刻 ，（）经过采样得到的。该序列的变换定义为： （1） （该式与 Laplace 变换相比有点类似。 Laplace 变换定义如下 若取 并定义 ，则与变换相似。） 其中 是复变量。尽管初看起来表示式（1）好象没有任何明显的用处，但它对于离散运算确实为我们提供了一条能够加深理解并简化运算的途径。例如采用 变换可以将许多有用的离散信号以封闭的形式写出。关于变换的详细内容请参考《信号与系统》等教材。 以下是两个离散信号及其变换的例子。 离散单位脉冲 （注意对照区别：理想脉冲函数的面积为1，拉氏变换为1； 离散单位脉冲的高度为1，Z变换为1。） 离散单位阶跃 离散时间单位脉冲和离散单位阶跃之间存在着密切的关系。离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，即 相反，离散时间阶跃是单位脉冲的求和函数，即 离散单位脉冲可以用于一个信号在 时的值的采样，因为 仅在 时为非零值（等于1），所以有 更一般的情况是， 若考虑发生在 处的单位脉冲 ，那么就有 （对于理想脉冲同样有 ） 如果一个系统的输入信号、输出信号及内部状态变量都是时间的离散函数，即离散信号，那么我们可以用离散时间模型来描述它。如果我们仅对连续时间系统在某些确定瞬时的响应感兴趣或是可测量的，则连续时间系统也能按离散时间系统建模。下面仅讨论单变量离散时间系统。我们用 表示输人和输出序列。 与连续时间系统一样，若离散时间系统初始松弛，即，则称其为初始松弛的离散时间系统。若初始松弛的离散时间系统具有线性性质，则其输入—输出之间有如下关系 其中 称为加权序列，它是在时刻 松弛的系统对于其上的脉冲输入 的响应，m是脉冲施加时刻，k是观测时刻。若离散时间系统具有因果性，亦即当前输出不依赖于未来输入时，则对于 有 。因此，当离散时间系统具有因果性且在 松弛，则上式可化为 若线性且具有因果性的松弛离散时间系统是时不变的，则对所有 有 （为方便计，采用相同的记号 表示不同的函数。与连续系统类似，该式可利用位移算子来证明） 在非时变情况下，初始时刻通常选为 ，且所感兴随的瞬时集合为正整数集合。因此，对于初始松弛的LTI因果离散时间系统，有 （1） （与连续时间系统的输入输出关系 相比，在离散时间系统中，我们用求和而不是积分。除此之外，所有的概念均是相同的）。 （1）式就是初始松弛的离散LTI因果系统的权函数描述方式。是系统在初始松弛情况下对于零时刻的脉冲输入的响应。称为该离散系统的权函数。 在连续时间情形下，若采用 Laplace 变换，卷积积分就能转化为代数方程。在离散时间下也有与之相同的情形，所用的变换就是 变换。现在，对 (1) 式取 变换。由于因果松弛系统在 时有，因此将（1）式写为 因而有 这里，我们变换了求和的顺序并利用了对于 有。函数是加权序列 的 变换，并称之为 传递函数或采样传递函数。是系统在初始松弛情况下对于零时刻的脉冲输入的响应。传递函数是描述初始松弛的离散LTI因果系统输入—输出关系的另一种方法（见后）。 也可以直接采用差分方程来描述离散LTI系统。比如，考虑某一银行户头按月结余的—个简单模型。令记作第 个月末的结余，每月利息为 ，代表第 个月的净存款（也就是存款减去支取数），则系统差分方程为 或者写为 可以将离散LTI系统的差分方程记为 若系统是初始松弛的，即，对该式两端取 变换，并利用变换的位移定理 ，得到 定义 这就是系统的传递函数。它也等于的 变换，系统在初始松弛情况下对于零时刻的脉冲输入的响应。（对照连续系统L[g(t)]=G(s)） 将单变量离散时间系统的输入—输出描述推广到多变量情形是直接而简单的，故在此不予讨论。 离散系统的另外一种描述方式是离散时间状态方程。下述方程定义为线性时变离散时间状态方