离散型与连续型随机变量.docVIP

例1一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验． , 二项分布的分布形态 由此可知，二项分布的分布 先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k的增大而减少．这个使得 可以证明： 例2 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？ 解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令： 则由题意 因此，最可能射击的命中次数为 其相应的概率为 3）Poisson 分布 如果随机变量 X 的分布律为 则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布． 分布律的验证 ⑴ 由于可知对任意的自然数 k，有 ⑵ 又由幂级数的展开式，可知 所以是分布律 Poisson分布的应用 1、Poisson分布是概率论中重要的分布之一． 2、自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布． 3、例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的． 例3 设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知 解：随机变量 X 的分布律 由已知得 解得 例4 解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 } 则由Bayes公式，得 Poisson定理 证明： 对于固定的 k，有 所以， 由 Poisson 定理，可知 例 5 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）． 解：设 B={ 600次射击至少命中3次目标 } 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验 例6 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保 证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？ 解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 ，则 ~ b(300，0.01)，需要确定最小的 N 的取值，使得： 查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。 例7 设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法一，由 4人维护，每人负责 20 台；方法二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解：按第一种方法. 记“第 1人负责的 20 台中同一时刻发生故障的台数”， 则 ~b (20，0.01) 以 Ai 表示事件 “第 i 人负责的台中发生故障不能及时维修”， 则 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为： 按第二种方法. 以 记 80 台中同一时刻发生故障的台数， 则~ b (20，0.01)故 80 台中发生故障而 不能及时维修的概率为： 第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维 修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。 一.连续型随机变量的概念与性质 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数, 简称概率密度. 连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定． 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： 注意：连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！ 连续型随机变量的一个重要特点 说 明 （1）由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题． （2） 例 1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 解： 由密度函数的性质