种不常见的正项级数收敛性判别法.docVIP

三类不常见的正项级数收敛性判别法 赖宝锋 积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要的积分判别法，但不在大纲所规定的考核范围之内。尽管如此，这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及其中所体现的思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法。 先介绍积分判别法。先建立如下三个简单的引理。 引理1 设为上的一个单调递增函数，则存在当且仅当有界。 证明：先证明必要性。假设存在，记。则存在一个，当时，有，于是。又单调递增，因此，。于是，有界。 充分性，若有界，则为单调有界函数，极限必存在。得证！ 引理2 设为上的一个单调递增函数，则存在当且仅当有界。 证明：必要性显然。充分性：，，。再由的有界性就知道了。 引理3 设为上的非负可积函数。则收敛当且仅当 有界，当且仅当有界。 证明：收敛当且仅当存在。由于非负，因此， 是单调递增的。由引理1，收敛当且仅当有界；由引理2，收敛当且仅当有界。这样，结论得证！ 定理1(积分判别法)假设数列满足：且单调递减。假设存在一个上的非负的单调递减的可积函数，使得。则的收敛性与广义积分是一致的。 证明：记部分和为，即 另一方面， 这样，。这样，若收敛，即有界，即收敛，则收敛，即收敛。若收敛，即有界，则有界，即收敛。 这个判别法的证明方法的几何意义是很清楚的，就是曲边梯形的内接矩形面积小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形的面积。见图1： 图1 注1：积分判别法中，数列单调性可以放宽为某一项以后单调。由于级数是否收敛与前几项无关，因此，即使某一项以后才保持单调递减性，级数仍然收敛。 下面用积分判别法解决两个问题。 例1.判别级数的收敛性。 解答：当，，级数自然是不收敛的。 当，，级数也不收敛。 当，广义积分当时收敛，当时发散。于是，时，级数收敛。当时，级数发散。综合起来看，，级数发散。，级数收敛。 例2.判别级数的收敛性。 解答：通过研究函数可知，数列在某一项以后就是单调递减的了。由于广义积分当收敛，当发散。于是，级数当收敛，当发散。 定理2.假设数列满足，且(包括)。则：(1)若，级数收敛。(2)若，级数发散。(3)若，此法失效。 证明：若，则对任意，存在，使得当，有 ，于是，即，于是，。由于，因此级数收敛。 若，与上面方法一样，只需任取一个，则存在一个，当，有。下同。 若，则对任意，存在，使得当，有，于是，即，。由于，因此级数 发散，因此级数发散。 若，我们取，则，但是发散的。另一方面，我们又取，其中。则 。由积分判别法，有收敛。因此，当，此法失效。 下面用对数判别法练习几个例题。 例题3.判断的敛散性。 解答： 于是，收敛。 例题4.判断的敛散性。 解答： 为单调递减函数，于是 这样，，即 ，于是 这样， 这样， 于是，。因此，级数收敛。 注2：我们在这里还是利用了放缩的方法。我们中间得到了这样一个不等式： 由于 于是， 由于，于是 注意到，于是，。再由，，可知。于是，。 例题5.判别级数的收敛性。 解答：，于是，级数对任意都不收敛。 例题6.判别级数的收敛性。 解答：，于是，级数收敛。 例题7.判别级数的收敛性。 解答： 若，级数收敛；若，级数发散；若，此法失效。用积分判别法，容易知道发散。 例题8.判别级数的收敛性。 解答： 若，级数收敛；若，级数发散；若，此法失效。由于，容易知道发散。 下面论述拉贝判别法。 定理3.假设，且。若(包括)，级数收敛；若，级数发散；若，此法失效。 证明：若，则。对任意(对于，取)，存在，使得当，有 ，即， 这样，当，有 于是， 于是， 由于，因此，有界。而由于，收敛。因此，收敛，于是，收敛。 若，任取，则存在一个，使得当，有 ，于是， 于是，当，有 于是， 又 由于，因此发散。于是，发散，于是，发散。 当，取，，，但 发散。又取 ， 由积分判别法，收敛。于是，，此法失效。 例题9.判别级数的收敛性。 解答： 于是，级数收敛！ 例题10.判别级数的收敛性。 解答： 于是，当，级数收敛；当，级数发散；当，此法失效。 由例6， 由于，于是，发散。这样，，级数收敛；，级数发散。 1