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一种新型的线性分段插值法的研究 （Aug 21 2007 03:37PM ） 1 引言 在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。 图1 2 分段线性插值法 此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。 设非线性函数y=f(x)在区间[x0,xm]是单调的。过点(x0,f(x0)),(xm,f(xm))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差： ?= F(x)-f(x) f(x) 若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。 由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从xm处向低值截取xk=0.618(xm-x0)的一段为第二区间，(x0,xk)为第一区间。连接点(xk,f(xk)),(xm,f(xm)),既得区间[xk,xm]的拟合折线为： F1=A1x+B1 A1=(f(xm)-f(xk))/(xm-xk),B1=f(xm)-A1x1m 依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为： Fi=Aix+Bi Ai=(f(x(i+1)m)-f(xim))/(x(i+1)m-xim),Bi=f(xim)-Aixim 若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。 图2 二分法分段线性插值法 3 逐次逼近线性插值法 作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]XX[M+1],在数组中区间可化为(X[M-1],X[M])或(X[K],X[M])。若在区间(X[K],X[M])内，其最大误差超过允许值，程序须进行再划分，这时若不进行强制性分段处理，则易进入死循环，且难被编程者发现。故作者根据数组的特点和编程者的习惯进行了改进，使用0.5系数代替0.618,但经编程求解后发现简单的替换使得分段区间的数目急剧增多。针对这种情况，作者进行了连续分段划分，寻求较少分段区间数。具体原理如下。 若数组个数为m+1个，则在区间(x[0],x[m])范围内，令X=x[m]-0.5(x[m]-x[0])进行第一次划分，若X=x[k]或x[k]X 4 方法比较 用以上两种方法分别对采集数组进行了公差为0.001mm,0.015mm和0.002mm的区间计算，所得折线公式数(区间数)如下表所示。 δ 0.001 0.015 0.002 区间数 方法 分段线性插值法 73 27 13 逐次分段线性插值法 75 29 13 5 结束语 由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同，分段区间较少，线性化良好，其思维方式符合编程习惯，编程清晰，具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。