厦门大学线性代数2-3向量组的最大无关组与秩精要.ppt

* Xiamen University * 第三节 向量组的最大无关组与秩 一、向量组的秩 二、向量组的等价 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 * 一、向量组的秩 一个向量组所含的向量个数最多的无关 部分组有什么性质? 问 题 定义2.3.1 如果一个向量组Ω的一个部分组 线性无关, 并且向量组中的任意一个向量都可以由 线性表出, 则称 为这个向量组 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组.向量组Ω的 最大无关组所含向量的个数r称为向量组Ω的秩,记作 只含零向量的向量组没有最大无关组, 并规定它的秩为0. * 例1 设向量组 A: ?1 = [1, 1, 1]T ,?2 =[2,1, 0]T , ?3 =[3,2,1]T 求A的一个最大无关组 解 因 ?1 , ?2线性无关 , ?3 = ?1+ ?2 ?1 , ?2为A的一个最大无关组 ?1 , ?3和?2 , ?3也都是A的最大无关组 例2 n维单位坐标向量组ε1,ε2,…,εn 是Rn的一个 最大无关组 因为向量组ε1,ε2,…,εn 线性无关 而n+1个n 维向量必然线性相关,Rn的任一个向量都可由ε1,ε2,…,εn 线性表出 所以ε1,ε2,…,εn 为Rn的一个最大无关组 例 P93：例2.2.7向量组的最大无关组是什么？ 最大无关组唯一吗？不。 * 一个向量组的最大无关组与原向量组有什么关系? 向量组最大无关组的四个基本问题 存在、唯一、个数、求法 需要进一步讨论两个向量组之间的关系 向量组最大无关组的几个问题 * 二、向量组的等价 设有两个n维向量组A与B, 如果向量组A的每个向量可由向量组B线性表出,则称向量组A可由向量组B线性表出,如果向量组A和向量组B可以互相线性表出,则称向量组A与向量组B是等价的,记为 向量组A ≌向量组B 定义2.3.2 从而 * 向量组A,B,C之间的等价具有下列性质 (1) 自反性 A ? A (2) 对称性 A ? B = B ? A (3) 传递性 A ? B, B ? C =A ? C 向量组的等价关系满足： * 推论2.3.1 向量组的任意两个最大无关组等价 定理2.3.1 向量组与它的任一最大无关组等价 * 定理2.3.2 如果n维向量组?1, ?2 ,?, ?s可由n维向量 组?1,?2 ,?,?t线性表出,并且st,则向量组 ?1, ?2 ,?, ?s必线性相关 如果向量组?1,?2 ,?,?s 可由向量组 ?1,?2 ,?,?t线性表出,并且?1,?2 ,?,?s 线性无关, 则s ≤t 推论2.3.2 * 两个等价的线性无关的向量组所含 向量的个数相同 推论2.3.3 一个向量组的任意两个最大无关组所含 向量的个数相同 推论2.3.4 推论2.3.5 等价向量组的秩相等 推论2.3.5的逆命题不成立 * 例3 已知向量组?1,?2可由向量组?1,?2线性表示,即 问这两个向量组是否等价? 解 已知 由于 可逆 * 向量组?1,?2 可由向量组?1,?2线性表示 综合(1)(2), 这两个向量组等价 复习 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 一个矩阵有三个“秩”： 矩阵A的秩、矩阵的行秩、矩阵的列秩 * 定理2.3.3 行初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 * 推论2.3.6 矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 定理2.3.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 矩阵的行秩和列秩相等且即为矩阵的秩 定理2.3.5 行初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 定理2.3.3 * ?1=[1,2,3]T, ?2=[-3,-2,3]T ?3=[4,7,9]T, ?4=[5,9,12]T 例4 已知向量组 求?1,?2,?3,?4的秩及其一个最大无关组, 并将其余向量用这个最大无关组线性表出 解 令A=[?1,?2,?3,?4],对A作行初等变换化为 行最简形 * ?1,?2是向量组?1,?2,?3?4的一个最大无关组 R(A) = 2，该向量组的秩为２，且 * Xiamen University * *