积分与路径的无关性.docVIP

授课题目 §2柯西积分定理 授课类型 理论课 首次授课时间 2009年9 月1 日 学时 2 教学目标 掌握柯西积分定理及推广. 重点与难点 重点：柯西积分定理及推广到复周线的情形. 难点：柯西积分定理推广到复周线的情形. 教学手段与方法 黑板 讲授 教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分内容时间分配 2.讲授新课 课堂练习与讨论 课堂小结与布置作业在单连通区域平面上解析，它沿连接起点与终点的任何路径的积分值都是相同，即积分与路径无关，但在例3.3中，被积函数在平面上处处不解析（见第二章习题１），而积分值却与连接起点与终点的路径无关．下面给出周线积分的基本定理。 定理 ：设在区域内连续，是在内的原函数，即 则对于内上任意起点为，终点为的周线，有 。 注意 定理的条件蕴含在内解析。 该定理的意义在于：把微积分基本定理推广到周线积分上。 证明：如果是光滑曲线， 例1.求， 其中如图： 　解：因为对任意的，被积函数有原函数，，不必再求C的参数表示，由定理1 例2.求 ，其中C分别如下图： 解：（1）在去掉负实轴的区域内取对数函数的分支：（） 则在 区域，于是= 推论1：若在区域内连续，且在内有原函数，则对内的任意环线， 有=0 这个推论提供了 当时，积分的另一求法。 推论2. 若在区域内连续，且在内有原函数，则它沿内的周线积分只依赖与周线的端点，即积分与连接这两点的路径无关。如下图： 至此，我们将建立已讨论的三个性质的等价性： 定理2. 设在区域内连续，则以下结论等价： （1）在内的原函数 （2）沿内的任意环线的积分为零。即对内的任意环线，有=0 （3）沿内的周线积分与路径无关。，即对于内任意两点与，积分值 与连接起点与终点的路径无关 证明：(2)(3)设与是内连接与的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线就连接成内的一条闭曲线，从而由定理及§１的性质（３）有 因此 (3)(1)只其起点和终点有关，因而当起点固定时，对于一个，就唯一地确定了一个积分值，这说明当固定时，积分就定义了内的一个单值函数，记为　　(3.5) ，作一个以为心，以充分小的为半径的圆，使得，在内取动点，则 由于积分与路径无关，因而我们可取的积分路径为由沿与相同的路径到，再从沿直线段到（图３.3） 图3.3 从而有 于是 　 但已知在内连续，所以对，可取上述的充分小，使得在内的一切点均有，从而由定理3.2有 即　 现在看来，定理2的作用不大，我们甚至怀疑能否验证一个函数沿这任何闭曲线的积分为零。 在下一节中我们将得到一个令人惊讶的定理：Cauchy定理。它给出了使上述性质成立的简单条件。 思考题、讨论题、作业 教学后记 3——3