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§2 多重积分、曲线积分与曲面积分 多重积分 1. 二重积分 连续函数f(x,y)在有限可求积的平面区域Ω内的二重积分 式中,,是对Ω中的所有的下标i，j求和. [特定区域内二重积分的计算公式] 积分区域Ω 计算公式（积分限应从小到大） 设，则 [二重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微分的函数 把平面Oxy上的有界闭区域Ω单值映射到平面上的闭区域Ω，其雅可比式为 则 例 若 则 所以 2. 三重积分 [直角坐标下的三重积分] 假设有界区域V由下列不等式 a≤x≤b, ≤y≤, ≤z≤ 确定，其中,,,都是连续函数，且函数f(x,y,z)在V上是连续的，则函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分 有时采用下面公式计算： 式中是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面(图6.3). 例 设V表示在第一卦限中由曲面和坐标平面所围成的封闭区域，则当一切常数都是正的时候，有 这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到. [圆柱坐标下的三重积分] (图6.4) （一般地，0≤≤2π) 式中V为直角坐标中的有界区域，V是区域V在圆柱坐标系中的表达式. [球面坐标下的三重积分] (图6.5) （一般地，0≤≤2π,0≤θ≤π) 式中V是区域V在球面坐标系中的表达式. [三重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微函数 把Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到Ouw空间的闭区域V，并且当（u, ,w)∈V时其雅可比式 则 3. 多重积分 [直接计算多重积分] 若函数f()在由下列不等式所确定的有界闭区域Ω内是连续的： a≤≤b ()≤≤ () ……………………… ()≤≤ () 式中a,b为常数，()， ()，…， ()， ()为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算： [多重积分的变量替换（雅可比式）] 若连续可微函数 = (), i=1,2,…,n 把O空间内的有界闭区域Ω双方单值地映射成O空间内的有界闭区域Ω,并且在闭区域Ω内雅可比式 则 特别，根据公式 变换成极坐标(r,)时，有： 曲线积分 [对弧长的曲线积分] 若函数f(x,y,z)在光滑曲线C: 的各点上有定义并且连续（图6.6）则 式中ds为弧的微分，等.这个积分与曲线C的方向无关. [对坐标的曲线积分] 若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C: 的各点上连续，这曲线的正方向为t增加的方向，则 当曲线C的正向变更时，积分的符号改变. [全微分的情形] 若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C上连续，并且 式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数，则 式中()为积分曲线C的始点，()为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下，积分值与曲线C的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7). 在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分 的充分必要条件是：在区域V内等式 成立.这时函数u可按下面公式求得： 式中()为区域V内的某一固定点. [格林公式] 1°曲线积分与二重积分的关系.设C为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边，若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏导数在S+C上连续，则有格林公式 ： 2° 曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q, 在区域S上连续，且 则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零，即 因而由S中的A到B的积分与线路无关（图6.8)，即 曲面积分 [对曲面面积的曲面积分] 1° 若S为逐片光滑的双侧曲面* z=z(x,y) ((x,y)) 式中σ为曲面S在Oxy坐标面上的投影，z(x,y)为单值连续可微函数，函数f(x,y,z)在曲面S的各点上有定义并连续，则 此积分与曲面S的方向（法线的方向）无关. 2° 若曲面S由连续可微函数 ((u,)∈Ω) 给定，则 式中 * 曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向，