积分学SECTION_.docVIP

四、定积分的求法 　　[定积分的性质] 　　[分部积分法] 式中 　　[变量替换法] 设函数在区间[]上有连续的导数，同时函数在区间上连续，并且从单调地变到，则 　［利用函数奇偶性求积法］ 若为偶函数，则 若为奇函数，则 ［利用积分对参数求导法］　设f(x,t)在有界区域上连续，并且存在连续偏导数，则当时，有 例　计算积分 解　设 则　　.因 所以︳. ［定积分表］ 定 积 分 定 积 分 值 定 积 分 定 积 分 值 定 积 分 定 积 分 值 为正整数,a0) 定 积 分 定 积 分 值 (n为正整数) (欧拉常数，下同) 定 积 分 定 积 分 值 五、广义积分 １. 广义积分的概念 ［无穷限广义积分］ 设函数f(x)在[a,b]上可积，ua,b,u,当下列各式右边的极限存在时， 这时称无穷限广义积分收敛，否则称为发散. [无界函数的广义积分] 设函数f(x)在给定区间[a,b]上只有一个瑕点x=c,即函数f(x)在x=c点的邻域内无界，而在[a,c-ε]及[c+ε,b]上可积，ε，ε为任意小的正数，当ε和ε独立地趋于零，极限 (1) 存在时，则用上式定义无界函数f(x)从a到b的瑕积分，记作 [柯西主值] 有时极限（1）不存在，但如果设ε=ε→0，这个极限（1）存在，就称它为瑕积分的主值，记作 这时称无界函数广义积分在主值意义下收敛，否则称为发散. [绝对收敛与条件收敛] 如果f(x)的广义积分与|f(x)|的广义积分同时收敛，那末称f(x)的广义积分是绝对收敛, f(x)称为绝对可积；如果仅前者收敛，后者不收敛，那末称f(x)的广义积分是条件收敛. 2. 广义积分收敛判别法 1° 收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε0,都存在N=N(ε)0,只要,就有||ε. 2° 设f(x)是非负的，则收敛的充分必要条件是： F(u)=是有界函数. 3° 设当x→∞时，f(x)=.若p1,则收敛；若p≤1,则发散. 4° 若收敛，g(x)单调有界(x≥a),则收敛. 5° 设f(x)≥0,g(x)≥0,且f(x)≤cg(x)(x≥a,c是一个大于零的常数）.若收敛，则也收敛；若发散，则也发散. 6° 无穷级数与广义积分的关系：设f(x)是定义在区间[a,∞)上的一个正的非增连续函数，则级数f(a)+f(a+1)+··+f(a+k)+··与积分同时收敛或同时发散. 7° 广义积分（以a为瑕点）收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε0,都存在δ(aδb),使当auuδ时||ε. 8° 设g(x）有连续的导数，并是恒正的、单调下降的函数，且.若有常数M,使对一切ua,都有||M,则广义积分收敛. 六、含参数积分 1. 含参数常义积分 [连续性] 若二元函数f(x,y)在有界区域R(a≤x≤A,b≤y≤B)上有定义且连续，则 是闭区间[b,B]上的连续函数. [积分号下的微分法] 若f(x,y)在有界区域R(a≤x≤A,b≤y≤B)上连续，并且存在连续偏导数(x,y)，则当byB时， 一般情况下，当积分限为参数y的可微函数和, 且当b≤y≤B， a≤≤A, a≤≤A时， (1) [积分的求导运算] 以下公式为(1)的特殊情况. [积分号下的积分法］若函数在有界区域[a≤x≤A,b≤y≤B]上连续，则 2 . 含参数广义积分 [一致收敛性] 设函数f(x,y)是定义在区域R(a≤x∞, y1yy2)上的连续函数，若对任意给定的ε0，都存在只与ε有关的正数B=B(ε),使得当b≥B时，对区间(y1，y2)内一切y不等式