41205023章青用复数证明几何题目1探讨.docx

分类号 陕西师范大学学士学位论文 用复数证明几何题目 作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 曹怀信 作 者 姓 名 章青 专 业、班 级 数学与应用数学专业 数学一班 提 交 时 间 二0一六年五月 用复数证明几何题目 章青 (数学与信息科学学院2012级数学1班) 指导教师 ：曹怀信 摘 要：复数是一个具有几何和代数双重身份的概念。本文探究的是复数在平面几何证明题目中的运用。 首先简单介绍了复数相关的概念与性质，阐述代数所对应的几何含义，为证明几何题目奠定基础。接着分别列举了垂直、平行、旋转三种类型的几何题目，揭示复数法证明的具体步骤与思想，并与传统的直接推理法进行对比，作出简要评析，感悟不同方法的光芒。最后总结复数法证明几何题目的关键就是将几何题目中的点、线用复数表示，把证明几何题目的过程转化为代数计算的过程。 复数将代数、三角和几何自然地结合在一起，掌握复数法证明值得提倡。 关键词：平面几何 ；复数法 ；直接推理 一． 引言 人类很早就知道用自然数来计数。随着社会的发展和实际的需要，数的概念也逐步扩充，复数进入中学数学教材，具有广泛的教育价值，将三角函数、代数、向量和平面几何有机地联系起来，为研究平面几何，三角函数提供新的研究手段，充分体现它对数学本身的发展具有极其重要的意义。高中课本复数的比重很小，仅仅要求学生认识复数扩充的过程，体会在数系扩充中数学与实际需求的作用与关系，侧重的是复数的代数意义，会解实系数一元二次方程，激发了学生的求知欲望，从而更深层次地理解韦达定理。而国内外也有很多针对复数运用的文章，大体分为复数的代数作用与几何作用的探究，然而对于平面几何证明这一部分，文献往往是纯粹地论述题目过程，题目程度偏难，理解起来不是很容易且离初中和高中知识相对遥远，适应性不强①。 本文针对经典平面几何题目，从垂直、平行、旋转入手，逐步加深感悟复数之间的代数运算所对应的几何意义，加强数形结合思想的渗透，从而揭示复数法证明几何题目的具体步骤与思想，并与传统的直接推理法进行对比，作出简要评析，感悟不同方法之间的光芒。关注学习过程，改善学习模式。 二．复数的有关概念 数系的扩充过程实际上是人类满足生产实际和数学本身发展的过程，但为了保持平衡，数系每一次的扩充依旧会保持原有数系的运算法则与运算。为了求解方程,将实数系扩充到了复数系。把平方等于-1的数用符号表示，把叫做虚数单 2.1复数的三种表达形式 2.1.1复数的代数形式 我们把形如数叫做复数，通常表示为，其中和是实数，称为的实部，称为的虚部，记为。我们把这种表示方法称为复数的代数形式。将复数称为复的共轭复数，记作。 2.1.2复数的三角形式 任何一个复数都可以表示成的形式。其中，，称为复数的模；。的值称为复数的幅角，单位为弧度记为。我们把这种形式叫做复数的三角形式。 2.1.3复数的指数形式 根据欧拉公式，任何一个复数都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。 复数的这三种表示方法在不同的情况下可以相互转换，我们应该针对不同的题目需要选择恰当的形式进行求解运算。 2.2复数的四则运算 2.2.1复数的加法与减法 设是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下： 也就是说，两个复数的和（或差）依旧为复数，它的实部是原来两个复数的实部的和（或差），它的虚部是原来两个复数虚部的和（或差）②。 2.2.2复数的乘法与除法 设是任意两个复数，我们定义复数的乘法如下： 也就是说，两个复数的乘积也是复数，复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但在运算过程中，需要用对进行化简，然后把实部和虚部分别合并。复数的除法实际上是复数乘法的逆运算，我们把满足的复数叫做复数除以所得的商，记作: 由此可见，复数的除法与分母有理化的方法类似，可以用分母分子同时乘分母的共轭复数后再进行运算。 2.3用复数度量点线 2.3.1用复数表示平面几何中的点 复数可以用直角坐标系内的一个点来表示，这个点的横坐标为，纵坐标为。当用直角坐标系中的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，轴为实轴，轴为虚轴。这样，复数集与复平面内所有点之间就建立了一一对应的关系，即任何一个复数，与复平面内的点是对应的。同理，每一个复数与复平面内的向量也是一一对应的。 2.3.2用复数表示平面几何中的线 平面上一条线段或直线可以由它的两个端点确定，所以可以用与端点对应的复数来表示线段或者直线。其中代表的就是从指向的向量。线段的长度就是的模长，即。 2.3.3用复数表示平面几何中的角度 平面上的