类阶变系数线性微分方程的解用于合并(王以霞).docVIP

一类二阶变系数线性微分方程的求解 王以霞 指导老师：张有为 （河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000） 摘 要 本文通过变量代换,找到了将一类二阶变系数线性微分方程化为二阶常系数线性微分方程所应满足的条件,同时,利用构造法构造了一类二阶变系数线性齐次微分方程及其解,并给出了二阶变系数线性齐次微分方程存在非零解的条件． 关键词 变系数; 构造法; 自变量代换; 未知函数代换; 线性微分方程． 中图分类号 A kind of two order variable coefficient linear differential equations Wang Yixia Instructor: Zhang Youwei (School of mathematics and statistics, He Xi University , Zhangye, Gansu, 734000 ) Abstract This article through variable substitution, found a kind of two order variable coefficient linear differential equation of two order linear differential equation with constant coefficients should satisfy the conditions, at the same time, using the structure method of a kind of two order variable coefficient linear homogeneous differential equation and its solution, and gives two order variable coefficient linear homogeneous differential equation existence of non zero solution. Keywords Variable coefficient; constant coefficient; construction method; variable substitution of unknown function; substitution; linear differential equation. 在实际问题中,二阶变系数线性微分方程广泛的应用于应用数学、工程技术、及力学等重要领域．但却没有统一解法,因此,寻求二阶变系数线性微分方程的求法变得尤为重要,本文针对一类特殊的二阶变系数线性微分方程． (1) (设,在区间上连续)．将其化为二阶常系数线性微分方程求解,并给出了应用举例．同时,利用二阶变系数齐次微分方程 ⑵ 的系数,之间的关系,构造某些二阶变系数线性齐次微分方程及其一个非零解,并利用常数变易法可求出方程⑴的通解． 1 预备知识 引理 (刘维尔公式) 设,是方程的任意个解,是它的朗斯基行列式,则对上的任一皆有 ． 引理 对于二阶变系数线性齐次微分方程⑵,若能求得它的一个非零解,由刘维尔公式即得它的通解．（其中、为任意常数）． 2 主要定理及其应用 2.1 自变量代换 定理 设方程的函数,满足条件(为任意常数),其中,则方程⑴的通解可求出． 证明 作自变量的代换,反函数为,则有: , ⑶ . ⑷ 将⑶,⑷代入方程⑴化为: ． 令,则可确定出 ,． 于是方程⑴可化为．也就是说,对方程⑴可作代换将方程化为的系数为1或-1的二阶线性微分方程,再由条件此方程化为．这是常系数线性微分方程通解可以解出,因而方程⑴通解便可求出,证毕． 推论 若取,即当时,在自变量代换下可将方程化为常系数线性方程． 下面举例说明上述定理及推论的应用． 例1 解方程． 解 方程写成． ,,． Ⅰ当时,取为新的自变量==,则原方程化为.其通解为．（、均为常数）.于是原方程的通解．（、均为常数）． Ⅱ 当时, 取为新的自变量 ==,则原方程化为,其通解为．（、均为常数）．于是原方程的通解为．（、均为常数）． 例2 解方程． 解 ,．取,则 ． 取新的自变量,则原方程化为,其通解为 ． 原方程的通解为．其中、均为任意常数． 2.2 未知函数的代换 定理 方程⑴可通过未知函数的变换（其中为待定的连续可微函数, 为未知函数）化为常系数线性微分方程的充